JHMath - 初中数学保命手册

 

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无意中翻到了数学竞赛的卷子，借此机会顺手把初中数学基本知识点整理一下

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章节	小节
一、实数与代数式 二、方程与不等式	二次根式的性质与运算 整式与分式的高阶变形 一元二次方程的解法与判别式 韦达定理与根系关系 方程与不等式的实际应用
三、四边形性质与判定 四、圆的几何性质 五、图形的变化与相似	平行四边形的判定体系 特殊平行四边形的层级关系 垂径定理与圆心角、圆周角 点、直线与圆的位置关系 圆中的计算 相似三角形的判定与性质 锐角三角函数 几何变换与最值问题
六、一次函数与反比例函数 七、二次函数	k, b 的几何意义与图象性质 反比例函数 k 的几何意义 二次函数的图象与性质 二次函数表达式的求法 二次函数与几何综合

核心公式与解题模型速查表

一、 代数

1. 必背公式

• 绝对值化简：\(\sqrt{a^2} = |a| = \begin{cases} a & (a \ge 0) \\ -a & (a < 0) \end{cases}\)
  • 警示：去根号必有绝对值，去绝对值必看正负
• 乘法公式：
  • 平方差：\((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\) （用于分母有理化、共轭构造）
  • 完全平方：\((a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2\)
• 一元二次方程：
  • 求根公式：\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) （前提：\(a \neq 0, \Delta \ge 0\)）
  • 韦达定理：\(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 x_2 = \frac{c}{a}\)
  • 推论：\(x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2\)

2. 核心思想

• 降次思想：若 \(x_1\) 是方程 \(x^2 - 3x + 1 = 0\) 的根，则 \(x_1^2 = 3x_1 - 1\)。遇到高次项直接代换
• 整体思想：看到 \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\)，立即通分为 \(\frac{a+b}{ab}\)
• 隐性约束：
  • 分式分母 \(\neq 0\)
  • 二次根式被开方数 \(\ge 0\)
  • 一元二次方程二次项系数 \(a \neq 0\)
  • 实际问题（人数、长度） \(> 0\) 且为整数

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二、 几何

1. 四边形判定树

• 平行四边形：两组对边平行；两组对边相等；一组对边平行且相等（最常用）；对角线互相平分
• 矩形：平行四边形 + (直角 OR 对角线相等)
• 菱形：平行四边形 + (邻边相等 OR 对角线垂直)
• 正方形：矩形 + 菱形
• 特殊面积：若对角线互相垂直，面积 \(= \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2\)

2. 圆的铁律

• 垂径定理：知二推三（垂直 \(\iff\) 平分）。见弦作垂线，必构直角三角形 (\(r^2 = d^2 + (\frac{l}{2})^2\))
• 角的关系：圆周角 = \(\frac{1}{2}\) 圆心角。同弧等角。直径对直角
• 切线判定：
  • 有交点 \(\to\) 连半径，证垂直
  • 无交点 \(\to\) 作垂线，证半径

3. 相似与变换

• 基本模型：A字型（平行/共角）、8字型（平行/蝴蝶）、母子相似（射影定理）
• 面积比：相似比为 \(k\)，周长比为 \(k\)，面积比为 \(k^2\)
• 将军饮马：
  • 定直线+两定点：作对称，化折为直
  • 定长线段平移：先平移“桥”，再连线

4. 三角函数（特殊角）

角度	\(30^\circ\)	\(45^\circ\)	\(60^\circ\)
sin	\(1/2\)	\(\sqrt{2}/2\)	\(\sqrt{3}/2\)
cos	\(\sqrt{3}/2\)	\(\sqrt{2}/2\)	\(1/2\)
tan	\(\sqrt{3}/3\)	\(1\)	\(\sqrt{3}\)

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三、 函数

1. 一次函数 \(y=kx+b\)

• \(k\)：斜率（正上负下）
• \(b\)：\(y\) 轴截距
• 面积：与坐标轴围成面积 \(S = \frac{b^2}{2|k|}\)

2. 反比例函数 \(y=\frac{k}{x}\)

• 几何意义：图象上任一点向两轴作垂线，矩形面积 \(= |k|\)，三角形面积 \(= \frac{1}{2}|k|\)
• 大小比较：必须限制在“同一象限”内比较

3. 二次函数 \(y=ax^2+bx+c\)

• 开口：\(a>0\) 向上（最小值），\(a<0\) 向下（最大值）
• 对称轴：\(x = -\frac{b}{2a}\) （左同右异）
• 顶点：\((h, k)\)，直接设 \(y=a(x-h)^2+k\)
• 交点：与 \(x\) 轴交点距离 \(= \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}\)

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四、 必要的思想

1. 动点与存在性

• 等腰三角形存在性：两圆一线（两圆心+一垂直平分线）
• 直角三角形存在性：直径圆（以定线段为直径画圆）
• 平行四边形存在性：对角线中点重合 (\(x_1+x_3=x_2+x_4\))

2. 面积最值（铅垂法）

• 公式：\(S = \frac{1}{2} \cdot h_{\text{铅垂}} \cdot x_{\text{水平宽}}\)
• 操作：用上方抛物线解析式减去下方直线解析式得到 \(h\)，配方求最大值

3. “隐圆”出现征兆

• 定点定长：到定点距离等于定长 \(\to\) 圆
• 定弦定角：对着定线段的张角不变 \(\to\) 弧
• 直角：对着定线段的角是 \(90^\circ\) \(\to\) 以线段为直径的圆

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数学素养水平测试卷快照

竞赛卷子