几何篇¶

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一、四边形性质与判定¶

（一）平行四边形的判定体系¶

1. 核心定义与性质¶

四边形是平面几何从“静态三角形”走向“动态多边形”的第一步。平行四边形（Parallelogram）作为四边形家族的“始祖”，其地位如同代数中的“方程”

（1）定义

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形

记作：\(\square ABCD\)
几何语言： \(\because AB \parallel CD, AD \parallel BC\) \(\therefore\) 四边形 \(ABCD\) 是平行四边形

（2）核心性质（知一推三）

一旦确认是平行四边形，你可以立即获得以下所有“红利”：

边：对边平行且相等（\(AB=CD, AD=BC\)）
角：对角相等（\(\angle A=\angle C\)），邻角互补
对角线：互相平分（\(OA=OC, OB=OD\)）。这是解决中点问题的核心模型

2. 判定方法库（五大金刚）¶

判定一个四边形是不是平行四边形，我们有5种武器。在解题时，应根据已知条件灵活选择

判定依据	具体描述	几何语言（简写）	推荐场景
定义法	两组对边分别平行	\(AB \parallel CD, AD \parallel BC\)	已知平行条件较多时
边判定1	两组对边分别相等	\(AB=CD, AD=BC\)	已知边长数据时
边判定2	一组对边平行且相等	\(AB \parallel CD, AB=CD\)	最常用！只需证明一组边的关系
对角线	对角线互相平分	\(OA=OC, OB=OD\)	涉及中点、中线时
角判定	两组对角分别相等	\(\angle A=\angle C, \angle B=\angle D\)	较少使用，仅在全角计算时用

易错陷阱：等腰梯形的伪装

问：若 \(AB \parallel CD, AD=BC\)（一组对边平行，另一组对边相等），它是平行四边形吗？

答：不一定！它可能是等腰梯形

口诀：平行且相等，必须是同一组边！

3. 典型例题¶

“一组对边平行且相等”的应用

如图，在 \(\square ABCD\) 中，点 \(E, F\) 分别在 \(BC, AD\) 上，且 \(BE=DF\)。求证：四边形 \(AECF\) 是平行四边形

解析：这道题展示了如何从一个大的平行四边形中“孵化”出一个小的平行四边形

找平行： \(\because\) 四边形 \(ABCD\) 是平行四边形 \(\therefore AD \parallel BC\) （大性质） \(\therefore AF \parallel EC\) （落在边上也平行）
找相等： \(\because AD=BC\) 且 \(DF=BE\) \(\therefore AD-DF = BC-BE \Rightarrow AF=EC\)
下结论： \(\because AF \parallel EC\) 且 \(AF=EC\) \(\therefore\) 四边形 \(AECF\) 是平行四边形（一组对边平行且相等）

解题心法

看到四边形证明，优先找“平行且相等”这一对组合，通常比证明两组边都相等要快一倍

4. 进阶思维与素养拓展¶

本节参考浙江省素养测试卷（复赛）的命题逻辑，重点讲解辅助线构造

（1）倍长中线法（构造中心对称）

当题目中出现“中点”或“中线”，但无法直接使用中位线时，构造平行四边形是标准动作

模型：\(\triangle ABC\) 中，\(AD\) 是 \(BC\) 边上的中线
操作：延长 \(AD\) 到 \(E\)，使 \(DE=AD\)，连接 \(BE, CE\)
结果：四边形 \(ABEC\) 是平行四边形（对角线 \(AE, BC\) 互相平分）
作用：将分散的边 \(AB\) 和 \(AC\) 转移到同一个三角形 \(\triangle ACE\) 中，便于利用三边关系 \(AC-AB < 2AD < AC+AB\) 求解

参考试题

第八届复赛 Q4：涉及直角三角形斜边中线，本质上也是利用了对角线互相平分的逆定理（矩形判定）
第九届复赛 Q2：直接考查 \(\square ABCD\) 中对角线交点 \(O\) 的性质，结合 \(BD=10, AC=6\) 求边长范围，这是典型的“对角线模型”应用

（2）坐标系中的平行四边形（存在性问题）

这是中考和竞赛的压轴常客。给定三点 \(A, B, C\)，找第四点 \(D\) 构成平行四边形

核心算法：利用“中点坐标公式” 平行四边形对角线互相平分 \(\Rightarrow\) 对角线中点重合
若 \(AC\) 为对角线：\(x_A + x_C = x_B + x_D, \quad y_A + y_C = y_B + y_D\)

注意：因为未指定哪条是对角线，通常需要分3种情况讨论（分别以 \(AB, AC, BC\) 为对角线）

自学自测

逻辑辨析：下列条件能判定四边形是平行四边形的是（）

A. 一组对边平行，另一组对边相等 B. 一组对边平行，一组对角相等 C. 一组对边相等，一组对角相等 D. 对角线互相垂直

（答案：B。A是等腰梯形；C可能是等腰梯形；D是垂线模型；B可以通过平行证角互补，进而证两组对角相等）*

作图思考：给你两根长度不等的木条，如何只通过测量中点的方法，摆出一个平行四边形？

（提示：将两根木条的中点重叠并固定，连结四个端点即可。原理：对角线互相平分）*

（二）特殊平行四边形的层级关系¶

1. 核心定义与判定体系¶

如果说平行四边形是“普通公民”，那么矩形、菱形和正方形就是拥有特权的“贵族”。它们之间的关系不是并列的，而是包含与进化的关系

（1）家族进化树

所有的特殊四边形首先必须是平行四边形

矩形（Rectangle）：

定义：有一个角是直角的平行四边形
判定核心：\(\angle A = 90^\circ\) 或对角线相等 (\(AC=BD\))

菱形（Rhombus）：

定义：有一组邻边相等的平行四边形
判定核心：\(AB=AD\) 或对角线互相垂直 (\(AC \perp BD\))

正方形（Square）：

定义：既是矩形又是菱形的四边形
判定核心：矩形 + 邻边相等；或者菱形 + 直角

（2）对角线的“DNA”密码

对角线是区分它们的各种“基因”的关键：

平行四边形：互相平分
矩形：互相平分 + 相等
菱形：互相平分 + 垂直（且平分对角）
正方形：互相平分 + 相等 + 垂直

2. 深度解析：面积公式的“降维打击”¶

（1）菱形的特殊面积公式

普通平行四边形面积 \(S = \text{底} \times \text{高}\) 但对于菱形（以及所有对角线互相垂直的四边形），有一个更爽的公式：

\[S_{\text{菱形}} = \frac{1}{2} \times \text{对角线}_1 \times \text{对角线}_2\]

原理：对角线把菱形切成了4个全等的直角三角形
注意：正方形也是菱形，所以正方形面积 \(S = a^2\) 或 \(S = \frac{1}{2}d^2\)（\(d\)为对角线长）

（2）判定路径的选择

在证明题中，不要试图一步登天证明正方形

路径 A：先证它是矩形 \(\rightarrow\) 再证邻边相等
路径 B：先证它是菱形 \(\rightarrow\) 再证有一个角是直角

选哪条？
看已知条件。如果有垂直关系，走菱形路线；如果有垂直平分线，走菱形路线；如果有直角三角形斜边中线，走矩形路线

3. 典型例题¶

【例1】折叠中的矩形判定

如图，将矩形纸片 \(ABCD\) 沿 \(AE\) 折叠，使点 \(D\) 落在 \(BC\) 边上的点 \(F\) 处。若 \(\angle BAF = 60^\circ\)，求 \(\angle DAE\) 的度数

解析：这是一道经典的“折叠”题，核心是全等

折叠性质：\(\triangle ADE \cong \triangle AFE\) \(\therefore \angle D = \angle AFE = 90^\circ\)，\(\angle DAE = \angle FAE\)
角度计算：矩形中 \(\angle DAB = 90^\circ\) \(\because \angle BAF = 60^\circ\) \(\therefore \angle DAF = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\)
角平分线： \(\angle DAE = \frac{1}{2} \angle DAF = 15^\circ\)

【例2】中点四边形

顺次连接任意四边形各边中点，所得的四边形是什么形状？若是连接矩形各边中点呢？

解析：

任意四边形：利用三角形中位线定理连接对角线 \(AC, BD\)。新四边形的边平行且等于对角线的一半 \(\therefore\) 总是平行四边形
矩形的中点四边形：原四边形是矩形 \(\Rightarrow\) 对角线 \(AC=BD\) \(\therefore\) 新四边形的邻边相等 \(\therefore\) 是菱形

结论记忆

中点四边形的形状取决于原四边形对角线的关系（相等 \(\to\) 菱形；垂直 \(\to\) 矩形）

4. 进阶思维与素养拓展¶

本节结合“赵爽弦图”模型与素养卷中的面积计算

参考试题

第九届复赛 Q15：如图，大正方形 \(ABCD\) 由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，设 \(AF=a, DF=ak \dots\) 若 \(\triangle ADE\) 与 \(\triangle BEH\) 面积相等，求 \((k-3)(k+2)\)
- 素养考点：这道题就是赵爽弦图的直接应用。它考查了正方形的构造特征，需要学生利用勾股定理和面积法建立等量关系。题目求的是一个整式的值，暗示了不需要解出 \(k\) 的具体值，而是进行整体代换
第九届复赛 Q10：在 \(\square ABCD\) 中，对角线相交于 \(O\)，\(AE \perp BC\) 于 \(E\)，\(BE=2, EC=3\)，记 \(AB=x, BD=y\)，则 \(x^2-y^2\) 的值
- 素养考点：虽然题目背景是平行四边形，但涉及垂线和平方差。这里隐含了勾股定理在非矩形中的推广（射影定理的变形）。需要利用勾股定理在 Rt\(\triangle ABE\) 和 Rt\(\triangle AEC\) 之间架桥
第八届复赛 Q4：在 Rt\(\triangle ABC\) 中，\(CD\) 为 \(AB\) 边上的中线，\(CH \perp DB\) 等
- 素养考点：直角三角形斜边中线定理，本质上是矩形对角线互相平分且相等的一半。看到 Rt\(\triangle\) 斜边中点，必须想到这个模型

（1）正方形中的“弦图”模型

在正方形内部嵌入直角三角形，是中考压轴题的常客。最经典的是“赵爽弦图”及其变式

核心：利用“大正方形面积 = 小正方形 + 4个直角三角形”建立方程
技巧：全等旋转。看到正方形中有 \(45^\circ\) 或直角三角形，考虑绕中心旋转 \(90^\circ\)，将分散的线段拼在一起

（2）动点与最值

在矩形或正方形中，利用对称性解决“将军饮马”问题（线段和最小）是必考点

自学自测

判定陷阱：对角线互相垂直的四边形是菱形吗？ （答案：错。必须先是平行四边形，或者是“对角线互相垂直平分”。单纯垂直可能是“风筝形”）
面积计算：一个菱形的两条对角线长分别为 6 和 8，则这个菱形的边长是多少？面积是多少？ （答案：边长 5（勾股定理 \(\sqrt{3^2+4^2}\)）；面积 24（\(0.5 \times 6 \times 8\)））
逆向思维：若顺次连接四边形 \(ABCD\) 各边中点得到的是一个正方形，那么原四边形 \(ABCD\) 需要满足什么条件？ （答案：对角线互相垂直且相等）

二、圆的几何性质¶

（一）垂径定理与圆心角、圆周角¶

1. 核心定义与定理¶

圆是几何中最完美的图形，它将我们从“直线世界”带入了“曲线世界”。圆的几何性质核心在于对称性（轴对称与旋转对称）

（1）垂径定理

这是解决圆中计算问题的“核武器”，它构建了半径、弦长、弦心距之间的直角三角形关系

定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧
推论（知二推三）：在 ①过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦 ④平分优弧 ⑤平分劣弧这5个条件中，只要知道其中2个（需满足一定限制，如“非直径的弦”），就能推出其余3个
代数表达：若 \(CD\) 是直径，\(CD \perp AB\) 于 \(E\)，则： \(AE = EB = \frac{1}{2}AB\)，\(\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BC}\)

（2）圆心角与圆周角

圆心角：顶点在圆心的角
圆周角：顶点在圆上，两边都与圆相交的角
三大定理：
1. 同弧所对的圆周角相等（“同弧等角”）
2. 一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半（这是圆中转角的关键，\(\angle \text{圆周} = \frac{1}{2} \angle \text{圆心}\)）
3. 直径所对的圆周角是直角（\(90^\circ\) 推论）。反之，90°圆周角所对的弦是直径

2. 深度解析：基本图形与辅助线¶

（1）“垂径直角三角形”模型

凡是涉及半径 \(r\)、弦长 \(a\)、弦心距 \(d\) 的计算，必须构造直角三角形

勾股方程：\(r^2 = d^2 + (\frac{a}{2})^2\)
辅助线口诀：见弦作垂线，连结半径。这一刀下去，立刻出现直角三角形

（2）“隐圆”模型

有些题目表面没有圆，但充满了圆的灵魂

定点定长：到定点距离等于定长的点的轨迹是圆
定弦定角：若线段 \(AB\) 固定，且 \(\angle APB\) 大小恒定，则 \(P\) 点在圆弧上运动
直角对直径：若 \(\angle APB = 90^\circ\)，则 \(P\) 在以 \(AB\) 为直径的圆上

3. 典型例题¶

【例1】垂径定理的计算（“折叠圆”问题）

如图，半径为 5 的 \(\odot O\) 中，弦 \(AB\) 被直径 \(CD\) 垂直平分。若弦 \(AB=8\)，求 \(CD\) 上一点到 \(AB\) 的距离（即弦心距）

解析：

辅助线：连接半径 \(OA\)
算半弦：\(\because\) 直径垂直弦 \(\therefore\) \(AE = \frac{1}{2}AB = 4\)
勾股定理：在 Rt\(\triangle OAE\) 中， \(OE = \sqrt{OA^2 - AE^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3\) 答：弦心距为 3

【例2】圆周角定理的应用

如图，四边形 \(ABCD\) 内接于 \(\odot O\)，若 \(\angle BOD = 100^\circ\)，求 \(\angle BAD\) 和 \(\angle BCD\) 的度数

解析：

找关系：\(\angle BAD\) 和 \(\angle BOD\) 对着同一条弧 \(\overset{\frown}{BCD}\)（劣弧） \(\therefore \angle BAD = \frac{1}{2} \angle BOD = 50^\circ\)
圆内接四边形：\(\angle BAD + \angle BCD = 180^\circ\)（圆内接四边形对角互补） \(\therefore \angle BCD = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ\)

注意

圆心角 \(\angle BOD\) 通常指小于 180° 的那个角
求 \(\angle BCD\) 时，也可以用优弧所对的圆心角 (\(360^\circ - 100^\circ = 260^\circ\)) 除以 2 得到 \(130^\circ\)

4. 进阶思维与素养拓展¶

本节结合浙江省素养测试卷中的“圆”的隐性考法。在八年级试卷中，圆往往以“距离”或“旋转”的面目出现

（1）“直角三角形斜边中线”即“半径”

在前面的章节（矩形）中我们提到过斜边中线。在圆的视角下，这其实是：直角三角形的外接圆圆心在斜边中点

参考试题

第八届复赛 Q4：在 Rt\(\triangle ABC\) 中，\(\angle ACB=90^\circ\)，\(CD\) 为 \(AB\) 边上的中线...
- 素养点拨：看到 \(CD\) 是中线且 \(\triangle ABC\) 是直角三角形，马上反应出 \(AD=BD=CD\)。这三个点 \(A, B, C\) 其实都在以 \(D\) 为圆心、\(AB\) 为直径的圆上。题目后续的计算（如 \(H\) 点位置）可以借助圆的性质来理解

（2）“定点定长”的圆定义应用

当题目中出现“点到原点的距离为定值”时，这就是圆的代数定义

参考试题

第九届复赛 Q3：在平面直角坐标系中，第四象限内点 \(P(2, y)\) 到原点的距离为 \(\sqrt{10}\)
- 素养点拨：\(OP = \sqrt{10}\)，即 \(x^2 + y^2 = 10\)。代入 \(x=2\)，得 \(4+y^2=10 \Rightarrow y^2=6\)。因在第四象限，\(y=-\sqrt{6}\)
  
  这虽然是代数题，但几何背景是点 \(P\) 在以原点为圆心，半径为 \(\sqrt{10}\) 的圆上
第九届复赛 Q6：在 \(\triangle ABC\) 中... 以 \(A\) 为圆心作弧交 \(BC\) 于点 \(M, N\)...
- 素养点拨：这是一道明确的尺规作图与圆结合题。以 \(A\) 为圆心意味着 \(AM=AN\)，构造了等腰三角形 \(\triangle AMN\)。结合 \(BC\) 上的垂线，利用垂径定理（或等腰三角形三线合一）求解线段长

（3）构造辅助圆

这是竞赛级的高阶技巧。当图形中出现“共端点的等线段”（如 \(AB=AC=AD\)）时，这三点就在同一个圆上，圆心是 \(A\)

自学自测

定理辨析：平分弦的直径一定垂直于弦吗？

(答案：不一定。如果弦本身就是直径，那么两条直径互相平分但不一定垂直。必须强调“平分不是直径的弦”)

度数陷阱：圆周角是 \(30^\circ\)，它所对的弧是多少度？弦所对的圆心角是多少度？

(答案：弧是 \(60^\circ\)；圆心角是 \(60^\circ\))

直角模型：如图，点 \(A, B, C\) 在圆上，若 \(\angle C = 90^\circ\)，则 \(AB\) 是什么？

(答案：\(AB\) 是直径)

（二）点、直线与圆的位置关系¶

1. 核心定义与判定依据¶

判断“位置关系”的本质，就是比较“距离 \(d\)”与“半径 \(r\)”的大小。这是将几何直观转化为代数计算的关键一步

（1）点与圆的位置关系

设 \(\odot O\) 的半径为 \(r\)，点 \(P\) 到圆心 \(O\) 的距离为 \(d\)

点在圆外 \(\iff d > r\)

点在圆上 \(\iff d = r\) （圆的方程的核心定义）

点在圆内 \(\iff d < r\)

****

（2）直线与圆的位置关系

设 \(\odot O\) 的半径为 \(r\)，圆心 \(O\) 到直线 \(l\) 的垂线段长度（即圆心到直线的距离）为 \(d\)

相离 (Separated)：直线与圆没有公共点

判定：\(d > r\)

相切 (Tangent)：直线与圆只有一个公共点（切点）

判定：\(d = r\)
核心性质：圆心到切点的半径垂直于切线 (\(OA \perp l\))

相交 (Secant)：直线与圆有两个公共点

判定：\(d < r\)

（3）切线长定理

从圆外一点 \(P\) 引圆的两条切线，切点分别为 \(A, B\)

结论：\(PA = PB\)，且 \(PO\) 平分 \(\angle APB\)
模型：这也叫“冰激凌模型”或“风筝模型”，它是构造全等三角形 (Rt\(\triangle PAO \cong Rt\triangle PBO\)) 的产物

2. 深度解析：切线的判定与辅助线¶

（1）如何证明一条直线是切线？

这是中考解答题的常见第一问，通常有两种路径：

路径 A（有点）：如果直线 \(l\) 经过圆上某点 \(A\)，则连半径，证垂直
即证明 \(OA \perp l\)
路径 B（无点）：如果不知道直线与圆的交点，则作垂线，证半径
即过圆心 \(O\) 作 \(OD \perp l\) 于 \(D\)，证明 \(OD = r\)

（2）隐形圆的“警戒线”

在动点问题中，如果点 \(P\) 到定点 \(O\) 的距离恒为定值，点 \(P\) 的轨迹就是圆。此时直线与该轨迹的位置关系，往往决定了题目是否有解（例如：直线与圆相切时，往往对应着某个极值状态）

3. 典型例题¶

【例1】坐标系中的点圆关系

在平面直角坐标系中，\(\odot O\) 的圆心在原点，半径为 2。判断点 \(P(1, -\sqrt{3})\) 与 \(\odot O\) 的位置关系

解析：

算距离：计算 \(P\) 到原点 \(O(0,0)\) 的距离 \(d\) \(d = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2\)
比大小： \(\because d = 2\)，\(r = 2\) \(\therefore d = r\) 答：点 \(P\) 在 \(\odot O\) 上

【例2】切线性质的应用

如图，\(PA\) 为 \(\odot O\) 的切线，\(A\) 为切点，\(PO\) 交 \(\odot O\) 于点 \(B\)。若 \(OA=3, PB=2\)，求 \(\tan \angle APO\) 的值

解析：

见切点，连半径：连接 \(OA\) \(\because PA\) 是切线，\(\therefore OA \perp PA\)，即 \(\triangle PAO\) 是直角三角形
求边长： \(OB\) 也是半径，\(\therefore OB = OA = 3\) \(PO = PB + OB = 2 + 3 = 5\)
勾股定理：在 Rt\(\triangle PAO\) 中，\(PA = \sqrt{PO^2 - OA^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4\)
求函数： \(\tan \angle APO = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}} = \frac{OA}{PA} = \frac{3}{4}\)

4. 进阶思维与素养拓展¶

本节结合浙江素养卷，探讨“点到定点距离”的隐圆应用，以及直线位置关系的代数化

（1）“点在圆上”的代数翻译

当题目给出坐标满足 \(x^2 + y^2 = k\) 时，这就是圆的方程

参考试题

第九届复赛 Q3：在平面直角坐标系中，第四象限内点 \(P(2, y)\) 到原点的距离为 \(\sqrt{10}\)
- 素养点拨：这就是【例1】的逆运算。题目本质是说点 \(P\) 在以原点为圆心、半径为 \(\sqrt{10}\) 的圆上。利用勾股定理（距离公式）\(2^2 + y^2 = (\sqrt{10})^2\) 建立方程，瞬间解出 \(y^2=6\)

（2）直线与圆相切的“临界状态”

在高中数学中，直线与圆相切往往意味着判别式 \(\Delta = 0\)。在初中竞赛中，这常用于求最值如果题目问“直线 \(y=kx+b\) 与圆有公共点”，则隐含条件是 \(d \le r\)

参考试题

第九届复赛 Q21：涉及直线 \(y=\frac{kx+2k-4}{k-1}\) 经过定点 \(P\)
- 素养点拨：虽然此题主要考查定点，但直线的解析式中 \(k\) 的变化其实是在绕定点旋转。如果题目进一步问“该直线与某个圆的位置关系”，就需要利用 \(d\) 与 \(r\) 的关系。例如，若直线与以原点为圆心的圆相切，则利用“点到直线的距离公式”（竞赛内容）等于半径来求解 \(k\)

（3）隐圆中的最值

当点在圆上运动时，它到直线的最远/最近距离是多少？

结论：连接圆心作直线的垂线，延长交圆于两点
最近距离 = \(d - r\)
最远距离 = \(d + r\)

自学自测

概念辨析：直线 \(l\) 上有一点 \(A\) 到圆心距离等于半径，直线 \(l\) 一定是切线吗？

(答案：不一定。必须是圆心到直线的“垂直距离”等于半径。点 \(A\) 必须是垂足。如果 \(OA\) 不垂直于 \(l\)，则 \(l\) 是割线)

切线数量：过圆内一点能做多少条切线？过圆上一点呢？过圆外一点呢？

(答案：0条；1条；2条)

计算自检：\(\odot O\) 半径为 5，圆心到直线 \(l\) 的距离为 3，则直线被圆截得的弦长是多少？

(答案：8。利用垂径定理构造直角三角形，半弦长=\(\sqrt{5^2-3^2}=4\)，全长=8)

（三）圆中的计算¶

1. 核心定义与公式¶

这一节是将几何“量化”的关键。圆的计算核心在于“比例”——无论是弧长还是扇形面积，本质上都是圆的一部分，这个“部分”的大小由圆心角 \(n^\circ\) 决定

（1）弧长公式

设 \(\odot O\) 半径为 \(R\)，圆心角为 \(n^\circ\)

公式：

\[l = \frac{n \pi R}{180}\]

记忆法：周长是 \(2\pi R\)。圆心角 \(n^\circ\) 占 \(360^\circ\) 的比例是 \(\frac{n}{360}\) \(\therefore l = 2\pi R \times \frac{n}{360} = \frac{n \pi R}{180}\)

（2）扇形面积公式

扇形是“弯曲的三角形”

公式 A（角度制）：

\[S_{\text{扇}} = \frac{n \pi R^2}{360}\]

记忆：面积 \(\pi R^2\) 乘以比例 \(\frac{n}{360}\)

公式 B（弧长制 - 强烈推荐）：

\[S_{\text{扇}} = \frac{1}{2} l R\]

记忆：类比三角形面积公式 \(\frac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高}\)。这里弧长 \(l\) 是“底”，半径 \(R\) 是“高”。当已知弧长 \(l\) 而不知道圆心角 \(n\) 时，用这个公式秒杀

（3）弓形面积 (Segment Area)

弓形由弦和弧围成。没有直接公式，必须使用“割补法”

公式：\(S_{\text{弓形}} = S_{\text{扇形}} \pm S_{\triangle}\)
当圆心角小于 \(180^\circ\) 时（劣弧），用减法
当圆心角大于 \(180^\circ\) 时（优弧），用加法

2. 深度解析：不规则图形的“整形手术”¶

（1）“割补法”求阴影面积

在考试中，阴影部分往往是不规则的（比如花瓣形、月牙形）

策略：和差法将不规则图形转化为：\(S_{\text{规则1}} - S_{\text{规则2}}\) 或 \(S_{\text{规则1}} + S_{\text{规则2}}\) 常见的“规则图形”包括：扇形、三角形、正方形、矩形

（2）旋转中的面积不变性

当一个图形旋转时，其扫过的区域往往也是扇形或环形

关键：找到旋转中心和旋转角。所有对应点扫过的路径都是同心圆弧

3. 典型例题¶

【例1】基础公式应用

已知扇形的圆心角为 \(120^\circ\)，半径为 3，求扇形的弧长和面积

解析：

求弧长： \(l = \frac{120 \times \pi \times 3}{180} = \frac{360\pi}{180} = 2\pi\)
求面积（方法一：角度公式）： \(S = \frac{120 \times \pi \times 3^2}{360} = \frac{1}{3} \times 9\pi = 3\pi\)
求面积（方法二：弧长公式）： \(S = \frac{1}{2} l R = \frac{1}{2} \times 2\pi \times 3 = 3\pi\) 显然方法二更快！

【例2】弓形面积（割补法）

如图，在 \(\odot O\) 中，半径 \(OA=2\)，\(\angle AOB=90^\circ\)，求弦 \(AB\) 与弧 \(AB\) 围成的弓形面积

解析：

分解：\(S_{\text{弓}} = S_{\text{扇形OAB}} - S_{\triangle OAB}\)
算扇形： \(S_{\text{扇}} = \frac{90 \pi \times 2^2}{360} = \frac{1}{4} \times 4\pi = \pi\)
算三角形： Rt\(\triangle OAB\) 中，\(OA=OB=2\) \(S_{\triangle} = \frac{1}{2} \times OA \times OB = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2\)
做差： \(S_{\text{弓}} = \pi - 2\)

4. 进阶思维与素养拓展¶

本节结合浙江素养测试卷中的“面积变换”与“几何计算代数化”思想

（1）几何构造中的面积比

在复杂的几何构造中，面积计算往往不是直接套公式，而是利用相似比或全等转化

参考试题

第九届复赛 Q6：如图，在 \(\triangle ABC\) 中... 以 \(A\) 为圆心作弧交 \(BC\) 于点 \(M, N\)...
- 素养点拨：这是一道尺规作图背景下的计算题。虽然最终可能考查线段长，但在作图过程中隐含了扇形的存在。如果题目进阶一步询问“作图痕迹（弧线）扫过的扇形面积”，你需要立刻识别出圆心角 \(\angle BAC\) 和半径 \(AM\)。此外，根据报告分析，此类题目常涉及面积比等于相似比的平方这一核心结论，在处理与圆相关的相似图形面积时尤为重要

（2）动态轨迹覆盖的面积

当线段或图形运动时，扫过的面积通常需要通过积分思想（微元法）理解，但在初中阶段，我们将其转化为“大扇形 - 小扇形”（环形）或“矩形 + 扇形”（跑道形）

参考试题

第八届复赛 Q16：涉及图形变换与阴影部分面积
- 素养点拨：对于此类阴影面积问题，素养测试卷倾向于考查几何变换的不变量。通常需要通过平移或旋转，将分散的阴影部分拼凑成一个完整的扇形或规则多边形。例如，将分散在三个角的小扇形通过旋转拼成一个半圆

自学自测

公式混淆：扇形面积公式中分母是 180 还是 360？

(答案：360。弧长公式分母是 180，因为约分了 \(2\pi R\) 中的 2)

单位换算：计算时 \(\pi\) 要取 3.14 吗？

(答案：除非题目明确要求“精确到0.1”或“取\(\pi \approx 3.14\)”，否则保留 \(\pi\) 即可，这样既准确又省事)

圆锥侧面：一个圆锥母线长为 5，底面半径为 3，它的侧面展开图（扇形）的圆心角是多少？

(答案：利用“扇形弧长 = 底面周长”。\(l = 2\pi \times 3 = 6\pi\)。\(6\pi = \frac{n \pi \times 5}{180} \Rightarrow n = 216^\circ\))

三、图形的变化与相似¶

（一）相似三角形的判定与性质¶

1. 核心定义与判定¶

如果说全等三角形是“复印”，那么相似三角形就是“缩放”。它们形状相同，但大小不一定相同

（1）定义

对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形

相似比 (\(k\))：对应边的比值
若 \(k=1\)，则两个三角形全等
记法：\(\triangle ABC \sim \triangle DEF\)
注意：字母顺序必须对应（点 \(A\) 对点 \(D\)），否则比例式全错

（2）判定三招（简化版）

在证明题中，我们极少用定义去证，而是用判定定理： 1. 两角判定（AA，最常用）：如果有两个角分别相等，那么这两个三角形相似

应用：只要有平行线（同位角/内错角相等）或公共角，优先想这一条 2. 两边一角（SAS）：如果两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似
注意：必须是夹角！如果是“两边及其中一边的对角”，则无法判定 3. 三边判定（SSS）：如果三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似

2. 深度解析：经典模型库¶

（1）“A”字型与“8”字型（X型）

这是相似中最基础的骨架

A字型：
平行A字：\(DE \parallel BC \Rightarrow \triangle ADE \sim \triangle ABC\)
斜A字（共角模型）：\(\angle ADE = \angle C\)（而非 \(\angle B\)）\(\Rightarrow \triangle ADE \sim \triangle ACB\)（注意对应点反了）
8字型（X型）：
平行8字：\(AB \parallel CD \Rightarrow \triangle ABE \sim \triangle DCE\)
斜8字（蝴蝶模型）：\(\angle A = \angle D \Rightarrow \triangle ABE \sim \triangle DCE\)

（2）母子相似（射影定理模型）

在直角三角形中作斜边上的高，会产生三个相似三角形

模型：Rt\(\triangle ABC\) 中，\(\angle ACB=90^\circ, CD \perp AB\)
结论：\(\triangle ADC \sim \triangle CDB \sim \triangle ACB\)
公式（射影定理）：
1. \(CD^2 = AD \cdot BD\) （高是两段投影的比例中项）
2. \(AC^2 = AD \cdot AB\)
3. \(BC^2 = BD \cdot AB\)

3. 典型例题¶

【例1】判定与计算

如图，在 \(\triangle ABC\) 中，\(D\) 是 \(AB\) 上一点，\(\angle ACD = \angle B\)。若 \(AD=2, BD=3\)，求 \(AC\) 的长

解析：

找模型：这是典型的“斜A字”共角模型
证相似： \(\because \angle A = \angle A\) （公共角） \(\angle ACD = \angle B\) （已知） \(\therefore \triangle ACD \sim \triangle ABC\)
列比例： \(\frac{AC}{AB} = \frac{AD}{AC}\)
算结果： \(AB = AD + BD = 2 + 3 = 5\) \(AC^2 = AD \cdot AB = 2 \times 5 = 10\) \(\therefore AC = \sqrt{10}\)

【例2】面积比的应用

两个相似三角形的相似比为 2:3，其中较小三角形的面积为 8，求较大三角形的面积

解析：

用性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方
列方程：设较大面积为 \(S\) \(\frac{8}{S} = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}\)
解： \(4S = 72 \Rightarrow S = 18\)

4. 进阶思维与素养拓展¶

本节结合浙江素养测试卷中的“旋转相似”与“面积比”的高阶应用

（1）面积比的平方效应

在复杂几何题中，直接求线段长可能很困难，但利用面积比倒推相似比往往有奇效

参考试题

第八届复赛 Q6：在 \(\triangle ABC\) 中... 作 \(AE\) 交 \(BC\) 于点 \(F\)... 若 \(S_{\triangle ABF} : S_{\triangle AEC}\)...
- 素养点拨：这道题的核心在于识别图形中的相似成分。如果涉及到面积比，第一时间反应出 \(S_1 : S_2 = k^2\)。反之，如果知道了面积比是 1:4，那么对应边长比就是 1:2。这在处理被分割的几何图形时是解题的突破口
第九届复赛 Q18：涉及折叠与面积为 20 的三角形
- 素养点拨：折叠往往产生全等或相似。当题目给出“剪两个大小一样的三角形”时，暗示了全等；而剩余部分与原图的关系往往涉及相似。利用面积关系列方程时，记得平方比的性质

（2）旋转相似（手拉手模型）

当两个相似三角形共用一个顶点，且旋转一定角度时，会形成“手拉手”模型，这是竞赛常客

参考试题

第九届复赛 Q14：如图，在等腰 Rt\(\triangle ABC\) 中，直角顶点与 \(AB\) 中点 \(D\) 重合，\(\angle F = 30^\circ\)... 延长 \(DC\) 交 \(EF\) 于点 \(G\)...
- 素养点拨：这是一道极具挑战性的旋转相似题。虽然题目中有 \(30^\circ\) 和 \(90^\circ\) 等特殊角，但核心在于识别出 \(\triangle ADE\) 与 \(\triangle BDC\)（或类似结构）在旋转过程中的关系。此类题目通常需要证明 \(\triangle ADG \sim \triangle BDE\) 之类的隐含相似，或者利用旋转前后线段夹角不变来求解

自学自测

陷阱辨析：\(\triangle ABC\) 和 \(\triangle DEF\) 中，\(\angle A = \angle D\)，\(\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF}\)，它们相似吗？

(答案：不一定。这是“两边及其中一边的对角”，不是SAS。除非角是直角或钝角，否则存在两种可能)

性质记忆：若相似比 \(k=3\)，则周长比是多少？面积比是多少？

(答案：周长比是 3；面积比是 9) 3. 模型识别：如图，平行四边形 \(ABCD\) 中，\(E\) 是 \(BC\) 延长线上一点，\(AE\) 交 \(CD\) 于 \(F\)，图中有几对相似三角形？

(答案：3对。\(\triangle ADF \sim \triangle ECF\)（8字型）；\(\triangle ECF \sim \triangle EBA\)（A字型）；\(\triangle ADF \sim \triangle EBA\)（传递性）)

（二）锐角三角函数¶

1. 核心定义与特殊角¶

三角函数是初中数学中唯一将“角度”与“线段比值”联系起来的工具。它告诉我们：只要角确定，边长的比值就确定，与三角形的大小无关

（1）定义（Rt△中的比值）

在 Rt△ABC 中，\(\angle C = 90^\circ\)，\(\angle A\) 的对边为 \(a\)，邻边为 \(b\)，斜边为 \(c\)

正弦 (sin)：\(\sin A = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}} = \frac{a}{c}\)
余弦 (cos)：\(\cos A = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}} = \frac{b}{c}\)
正切 (tan)：\(\tan A = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}} = \frac{a}{b}\)

（2）特殊角的三角函数值（背诵必修）

这是一张必须印在脑子里的表。考试时没时间推导

\(\alpha\)	\(30^\circ\)	\(45^\circ\)	\(60^\circ\)
\(\sin \alpha\)	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\cos \alpha\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\frac{1}{2}\)
\(\tan \alpha\)	\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)	\(1\)	\(\sqrt{3}\)

规律记忆：
\(\sin\) 随角度增大而增大（分母都是2，分子是 \(\sqrt{1}, \sqrt{2}, \sqrt{3}\)）
\(\cos\) 随角度增大而减小（正好反过来）
\(\tan\) 随角度增大而增大（特立独行）

2. 深度解析：关系与应用¶

（1）同角三角函数的关系

在同一个三角形中，同一个角的三个函数值不是独立的

平方关系：\(\sin^2 A + \cos^2 A = 1\)

原理：勾股定理 \(a^2 + b^2 = c^2\) 两边同除以 \(c^2\)

商数关系：\(\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}\)
互余关系：\(\sin A = \cos(90^\circ - A)\)

例子：\(\sin 30^\circ = \cos 60^\circ\)

（2）坡度与坡角

在实际应用（如修路、筑坝）中，常用“坡度”来描述倾斜程度

坡度 (Slope, \(i\))：垂直高度 \(h\) 与水平宽度 \(l\) 的比

\[i = \frac{h}{l} = \tan \alpha\]
坡角 (\(\alpha\))：坡面与水平面的夹角

3. 典型例题¶

【例1】基础计算

在 Rt△ABC 中，\(\angle C = 90^\circ\)，\(AC=8\)，\(AB=10\)。求 \(\sin A, \cos B, \tan A\) 的值

解析：

勾股定理求第三边： \(BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = 6\)
套公式：

\(\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}\)
\(\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}\) （验证了互余关系）
\(\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}\)

【例2】特殊角的混合运算

计算：\(2\sin 30^\circ - \tan 45^\circ + \sqrt{(1-\tan 60^\circ)^2}\)

解析：

代入数值：原式 \(= 2 \times \frac{1}{2} - 1 + |1 - \sqrt{3}|\)
去绝对值： \(\because 1 < \sqrt{3}\)，\(\therefore 1 - \sqrt{3} < 0\) \(\therefore |1 - \sqrt{3}| = \sqrt{3} - 1\)
合并：原式 \(= 1 - 1 + \sqrt{3} - 1 = \sqrt{3} - 1\)

4. 进阶思维与素养拓展¶

本节结合浙江素养测试卷中的“坡比”与“几何计算”思想

（1）坡比的几何代数化

在几何综合题中，给出“坡比”往往是为了暗示直角三角形的三边比例，从而设未知数 \(k\) 进行计算

参考试题

第八届复赛 Q4：在 Rt△ABC 中... 斜坡 CD 的坡比为 3:1，若 CH=3...
- 素养点拨：看到“坡比 3:1”，立刻反应出 \(\tan \angle DCH = \frac{DH}{CH} = \frac{1}{3}\)（注意坡比通常指垂直:水平，题目中若指 CD 的倾斜角需仔细审题，此处通常指 \(\tan\) 值）。题目给出 \(CH=3\)，则 \(DH=1\)。这种“给比值=给线段长”的转化是解题关键

（2）非特殊角的处理（构造法）

如果遇到 \(15^\circ, 75^\circ, 105^\circ\) 怎么办？

策略：不要硬算，要构造
模型：在 \(30^\circ\) 的直角三角形旁边补一个等腰三角形
例如：Rt△ABC 中 \(\angle B=30^\circ\)，延长 \(CB\) 到 \(D\) 使 \(BD=AB\)，连接 \(AD\)。则 \(\angle D = 15^\circ\)
这样可以将非特殊角转化为特殊角线段的和差计算

（3）直线斜率与正切

在平面直角坐标系中，直线 \(y=kx+b\) 的斜率 \(k\) 本质上就是倾斜角 \(\alpha\) 的正切值

结论：\(k = \tan \alpha\)
应用：若直线 \(y = \sqrt{3}x + 2\)，则倾斜角为 \(60^\circ\)（因为 \(\tan 60^\circ = \sqrt{3}\)）

自学自测

增减性：\(\sin 20^\circ\) 和 \(\sin 40^\circ\) 哪个大？\(\cos 20^\circ\) 和 \(\cos 40^\circ\) 哪个大？

(答案：\(\sin 40^\circ > \sin 20^\circ\)；\(\cos 20^\circ > \cos 40^\circ\)。正弦增，余弦减)

范围陷阱：\(\tan \alpha\) 的值可以是 100 吗？\(\sin \alpha\) 呢？

(答案：\(\tan \alpha\) 可以是任意实数，所以 100 可以。\(\sin \alpha\) 必须在 0 到 1 之间（锐角），所以不行)

逆运算：已知 \(\tan A = 1\)，求 \(\angle A\)。已知 \(2\cos A = 1\)，求 \(\angle A\)

(答案：\(\angle A = 45^\circ\)；\(\cos A = 0.5 \Rightarrow \angle A = 60^\circ\))

（三）几何变换与最值问题¶

1. 核心定义与性质¶

几何变换是图形的“运动”。在初中阶段，我们主要研究全等变换（刚体运动），即图形的形状和大小不发生改变，只改变位置

（1）三大基本变换

平移 (Translation)：

定义：将图形沿某个方向移动一定的距离
性质：对应点连线平行（或共线）且相等
应用：将分散的条件（如两条不相邻的线段）“搬运”到一起，构成平行四边形或全等三角形

旋转 (Rotation)：

定义：绕着一个定点转动一定角度
性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角
模型：“手拉手”模型（共顶点的等腰/等边三角形）

轴对称 (Reflection)：

定义：沿着一条直线折叠重合
性质：对应点连线被对称轴垂直平分
应用：解决“距离之和最小”问题的核心工具

2. 经典模型：将军饮马¶

这是解决“线段和最小”问题的万能钥匙。核心思想是化折为直——利用两点之间线段最短

（1）基础模型（定直线+两定点）

问题：在直线 \(l\) 上找一点 \(P\)，使 \(PA+PB\) 最小
策略：
1. 作点 \(A\) 关于直线 \(l\) 的对称点 \(A'\)
2. 连接 \(A'B\) 交直线 \(l\) 于点 \(P\)
3. 此时 \(PA+PB = A'P+PB = A'B\)（最小值）
原理：两点之间，线段最短

（2）进阶模型（平移+造桥）

问题：如图，要在河岸 \(l_1, l_2\) 之间架一座桥 \(MN\)（\(MN \perp l\)，长度固定为 \(d\)），从 \(A\) 到 \(B\) 的路径 \(A \to M \to N \to B\) 最短
策略：
1. 既然桥长 \(MN\) 固定，我们先忽略它
2. 将点 \(A\) 向下平移距离 \(d\) 到达 \(A'\)（相当于把河岸抽干，两岸合拢）
3. 连接 \(A'B\)，与岸边的交点即为桥的位置
4. 最短路径 \(= AB' + d\)

3. 典型例题¶

【例1】将军饮马基础应用

在平面直角坐标系中，点 \(A(1, 2)\)，点 \(B(3, 1)\)。在 \(x\) 轴上找一点 \(P\)，使 \(PA+PB\) 最小

解析：

作对称：作点 \(A\) 关于 \(x\) 轴的对称点 \(A'(1, -2)\)
连直线：连接 \(A'B\)
算距离： \(A'B = \sqrt{(3-1)^2 + (1-(-2))^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}\) \(\therefore\) 最小值为 \(\sqrt{13}\)

【例2】旋转构造全等

如图，点 \(P\) 是等边 \(\triangle ABC\) 内一点，若 \(PA=3, PB=4, PC=5\)，求 \(\angle APB\) 的度数

解析：这是著名的费马点相关问题，需要通过旋转构造

旋转：将 \(\triangle ABP\) 绕点 \(B\) 逆时针旋转 \(60^\circ\) 得到 \(\triangle CBP'\)
构造：

连接 \(PP'\)。\(\triangle BPP'\) 是等边三角形（\(BP=BP'=4, \angle PBP'=60^\circ\)）
\(\therefore PP' = 4\)

勾股逆定理：在 \(\triangle PCP'\) 中，三边为 \(3, 4, 5\)（\(P'C=AP=3, PP'=4, PC=5\)） \(\therefore \triangle PCP'\) 是直角三角形，\(\angle PP'C = 90^\circ\)
求角： \(\angle APB = \angle CP'B = \angle CP'P + \angle PP'B = 90^\circ + 60^\circ = 150^\circ\)

4. 进阶思维与素养拓展¶

本节结合浙江素养测试卷，重点讲解“多动点”与“变换组合”的高阶应用

（1）平移中的最值（从静态到动态）

当题目中涉及两个动点，且这两个动点之间的相对位置固定（如定长线段移动）时，利用平移将其中一个动点转化为定点

参考试题

第九届复赛 Q20：在等边 \(\triangle ABC\) 中... 当等边 \(\triangle ABC\) 向左平移 1 个单位长度后，点 \(D, E, F\) 的对应点分别为 \(G, H, M\)。求 \(DH+DM\) 的最小值
- 素养点拨：这道题是将军饮马与平移的结合
  
  难点：点 \(D\) 和点 \(M\) 分别属于两个不同的三角形（一个是原图，一个是平移后的图）破局：利用平移向量。将线段 \(DM\) 中的点 \(M\) 反向平移回原三角形，或者将 \(D\) 平移到新三角形中。本质上，就是利用平移将“异面”的线段转化到同一个平面几何模型中，最终转化为“点 \(D'\) 到点 \(M\) 的距离最小”，即线段长

（2）旋转中的相似与全等

旋转变换常用于解决“共顶点”问题

参考试题

第九届复赛 Q14：在等腰 Rt\(\triangle ABC\) 中，直角顶点与 \(AB\) 边的中点 \(D\) 重合，\(\angle F=30^\circ\)，延长 \(DC\) 交 \(EF\) 于点 \(G\)...
- 素养点拨：此题虽然没有直接问最值，但涉及了复杂的图形重叠。核心在于识别旋转中心（通常是共用顶点）。解题时，尝试将图形绕中心旋转，看哪些线段重合，哪些角相等。这种“手拉手”模型（两个相似三角形共顶点旋转）在竞赛中经常用于证明三点共线或求线段比例

（3）坐标系中的折叠（轴对称）

在代数背景下考查几何变换，通常涉及点的坐标关于直线 \(y=kx+b\) 的对称

参考试题

第八届复赛 Q18：在梯形纸片 \(ABCD\) 中... 分别沿 \(AE, DE\) 方向剪两个大小一样的三角形纸片...
- 素养点拨：剪纸问题本质是轴对称。题目中“大小一样”暗示全等。通过折叠（轴对称），可以将不规则的剩余部分转化为规则图形，或者利用对称性找到线段的数量关系

自学自测

作图思考：如何在三角形内找一点，使它到三个顶点的距离之和最小？（费马点）

(提示：利用【例2】的旋转法，将距离和转化为一条折线，拉直即为最短)

模型辨析：将军饮马问题中，如果点 \(A, B\) 在直线 \(l\) 的异侧，还需要作对称吗？

(答案：不需要。直接连接 \(AB\) 即可。作对称是为了把同侧的点“变”到异侧去)

变换性质：将点 \(A(2, 3)\) 向左平移 1 个单位，再关于 \(x\) 轴对称，最终坐标是多少？

(答案：平移后 \((1, 3)\)，对称后 \((1, -3)\))