随机信号的时域分析
基本概念
随机过程
是 \(\mathrm{X}(\mathrm{t},\ \zeta)\ (\mathrm{t}\in\mathrm{T},\ \zeta\in\Omega)\) 在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合
是时间和样本点（样本函数）的 二元函数
样本
两者都固定下的样本点
样本空间
样本的集合
样本函数
一个样本函数=一条轨迹
样本函数空间
样本函数的集合
状态空间
样本函数值域
例
随机过程 de 分类
- 按时间和状态的离散/连续，排列组合得四种可能
- 时间区分【过程 or 序列】
- 状态区分【连续 or 离散】
- 按概率分布或性质
- 按随机过程的概率分布分类有：高斯(正态)过程、瑞利过程、马尔可夫过程、泊松过程、维纳过程等
- 按随机过程统计特性有无平稳性分为：平稳随机过程和非平稳随机过程
- 按随机过程在频域的带宽分为：宽带随机过程和窄带随机过程、白噪声随机过程和色噪声随机过程等
随机过程 de 概率分布
反映任一孤立时刻的概率分布情况
分布函数： \(F_{X}\left(x,t\right)=P\{X(t)\leq x\}\left(t\in T\right)\)
概率密度：\(f_{X}(x;t)={\frac{\partial F_{X}(x;t)}{\partial x}}\)
离散下：\(f_{Y}(y;t)=\sum_{i=1}^{m}\,p_{i}(t)\delta(y-y_{i})\;\;\;{\mathrm{i}}\in\mathrm{I}=\left\{1,\dots,\mathrm{m}\right\},\;\;p_{i}(t)=P\{Y(t)=y_{i}\}\)
反映任意俩个时刻的联合概率分布情况
联合分布函数：\(F_{X}(x_{1},x_{2};t_{1},t_{2})=P\{X(t_{1})\leq x_{1};X(t_{2})\leq x_{2}\}\quad t_{1},t_{2}\in T\)
联合概率密度： \(f_{X}(x_{1},x_{2};t_{1},t_{2})={\frac{\partial^{2}F_{X}(x_{1},x_{2};t_{1},t_{2})}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\)
随机过程 de 性质
同多维随机变量一样，随机过程 X(t)的 n 维概率分布具有下列主要性质：
\[
\begin{array}{r l}&{F_{X}(x_{1},x_{2},...,-\infty,...,x_{n};t_{1},t_{2},...,t_{i},...,t_{n})=0}\\ &{F_{X}(\infty,\infty,...,\infty;t_{1},t_{2},...,t_{n})=1}\\ &{f_{X}(x_{1},x_{2},...,x_{n};t_{1},t_{2},...,t_{n})\geq0}\end{array}
\]
\[
\begin{array}{r l}&{\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\cdots\int_{-\infty}^{\infty}f_{X}(x_{1},x_{2},...,x_{n};t_{1},t_{2},...,t_{n})d x_{1}d x_{2}...d x_{n}=1}\\ &{\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\cdots\int_{-\infty}^{\infty}f_{X}(x_{1},x_{2},...,x_{n};t_{1},t_{2},...,t_{n})d x_{m+1}d x_{m+2}...d x_{n}}\\ &{=f_{X}(x_{1},x_{2},...,x_{m};t_{1},t_{2},...,t_{m})}\end{array}
\]
如果 X(ti),X(t2),...X(tn)统计独立，则有
\[
f_{X}(x_{1},x_{2},...,x_{m};t_{1},t_{2},...,t_{m})\!=f_{ X}(x_{1};t_{1})f_{X}(x_{2};t_{2})...f_{X}(x_{n};t_{n})
\]
随机过程 de 数字特征
注意，一般积分内的 x 都是 EX ，根据随机变量函数的性质求解
- 期望—各个时刻的摆动中心
\[
E[X(t)]=\int_{-\infty}^{\infty}x\cdot f_{X}(x,t)dx=m_{X}(t)
\]
- 均方值、方差与均方差
均方值
\[
E[X^{2}(t)]=\int_{-\infty}^{\infty}x^{2}f_{X}(x,t)d x
\]
方差
\[
D[X(t)]=E\{[X(t)-m_{X}(t)]^{2}\}=\int_{-\infty}^{\infty}[x-m_{X}(t)]^{2}\cdot f_{X}(x,t)d x=\sigma_{X}^{2}(t)
\]
均方差
\[
\sqrt{D[X(t)]}=\sqrt{\sigma_{X}{}^{2}(t)}=\sigma_{X}\left(t\right)
\]
- 离散下
均值： \(m_{Y}(t)=\sum_{i=1}^{m}y_{i}p_{i}(t)\)
均方值： \(\varphi{_Y}^{2}(t)=E[Y^{2}(t)]=\sum_{i=1}^{m}{y_{i}}^{2}\,p_{i}(t)\)
方差： \({\sigma_{X}}^{2}(t)=D[Y(t)]=\sum_{i=1}^{m}[y_{i}-m_{Y}(t)]^{2}\;p_{i}(t)\)
- 自相关函数、自协方差函数与自相关
任意俩个状态之间的相关性，反映过程内部快慢
自相关函数定义
\[
R_{X}(t_{1},t_{2})=E[X(t_{1})X(t_{2})]=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}x_{1}\cdot x_{2}\cdot f_{X}(x_{1},x_{2};t_{1},t_{2})d x_{1}x_{2}
\]
离散下
\[
R_{X}(t_{1},t_{2})=\sum_{k_{1}\in\varepsilon_{y}}\sum_{k_{2}\in\varepsilon_{y}}k_{1}k_{2}\cdot P\{Y(t_{1})=k_{1},Y(t_{2})=k_{2}\}
\]
自协方差函数
\(C_{X}\left(t_{1},t_{2}\right)=R_{X}(t_{1},t_{2})-m_{X}(t_{1})\cdot m_{X}(t_{2})\)
\(t_{1}=t_{2}=t\) 时， \(R_{X}(t,t)=E[X^{2}(t)]\Leftarrow\) 过程的均方值
\(C_{X}\left(t,t\right)=D[X(t)]=\sigma_{X}^{2}\left(t\right)\Leftarrow\) 过程的方差
相关系数
\[
\rho_X(t_1,t_2)=\frac{C_X(t_1,t_2)}{\sigma_X(t_1)\sigma_X(t_2)}...........................\begin{cases}\sigma_X(t_1)\neq0\\\sigma_X(t_2)\neq0&\end{cases}
\]
例
则二维分布列与相关函数发生变化，从俩种可能 \(\rightarrow\) 四种
例
\[
\begin{aligned}&\text{ 设随机过程}\{X(t)=\mathrm{e}^{-tt},t>0\},\text{ 其中,随机变量 }\xi\sim U(0,1),\text{ 试求:}\\&(1)该过程的均值函数m(t);\\&(2)该过程的自相关函数R(s,t);\\&(3)该过程的一维概率密度f_{t}(x).\end{aligned}
\]
求随机过程的概率密度函数,就是已知 X 的 f(x),求 Y
只不过是换个符号,例如已知 U,求 X
随机过程 de 特征函数
一维特征函数
同样的，加个 t
\[
Q_X(\mu,t)=E[e^{juX(t)}]=\int_{-\infty}^\infty e^{jux}f_X(x\mathrm{~;}t)dx
\]
有逆变换
\[
f_X(x,t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty Q_X(u,t)\cdot e^{-j\mu x}d\mu
\]
n 阶原点矩
\[
E[X^n(t)]=(-j)^n\cdot\frac{\partial^nQ_X(\mu,t)}{\partial\mu^n}|_{\mu=0}
\]
二维特征函数
\[
\begin{gathered}Q_X(u_1,u_2;t_1,t_2)=E\left[\exp[ju_1X(t_1)+ju_2X(t_2)]\right]\\=\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty e^{ju_1x_1+ju_2x_2}\cdot f_X(x_1,x_2;t_1,t_2)dx_1dx_2\end{gathered}
\]
逆变换
\[
f_X(x_1,x_2;t_1,t_2)=\frac{1}{\left(2\pi\right)^2}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}Q_X(u_1,u_2;t_1,t_2)\cdot e^{-j(u_1x_1+u_2x_2)}du_1du_2
\]
求偏导，可得其相关函数，即
\[
R_X\left.(t_1,t_2)=-\frac{\partial^2Q_X\left(u_1,u_2;t_1,t_2\right)}{\partial u_1\partial u_2}\right|_{u_1=u_2=0}
\]
n 维特征函数
正逆变换
\[
Q_X(u_1,...,u_n;t_1,...,t_n)=E\left[\exp[ju_1X(t_1)+...+ju_nX(t_n)]\right]=\int_{-\infty}^\infty...\int_{-\infty}^\infty e^{ju_1x_1+...+ju_nx_n}f_X(x_1,...,x_n;t_1,...,t_n)dx_1...dx_n
\]
\[
\begin{aligned}&f_X(x_1,\cdots,x_n;t_1,\cdots,t_n)\\&=\frac{1}{\left(2\pi\right)^n}\int_{-\infty}^\infty\cdots\int_{-\infty}^\infty Q_X(u_1,\cdots,u_n;t_1,\cdots,t_n)e^{-j(u_1x_1+\cdots+u_nx_n)}du_1\cdots du_n\end{aligned}
\]
离散
\[
Q(u;t)=\sum_ie^{jux_i}P\{X(t)=x_i\}
\]
\[
Q(u_1,u_2;t_1,t_2)=\sum_j\sum_ie^{ju_1x_i+ju_2x_j}P\{X(t_1)=x_i;X(t_2)=x_j\}\quad(t_1,t_2)\in T
\]
平稳随机过程及其统计特征
不随时间的推移而变化，时不变的
严平稳过程
设有随机过程{ X(t) , t ∈T}，若对于任意 n 和任意 t1<t2<…<tn， \(t_i\in\mathsf{T}\) 时刻的 n 个状态的 n 维概率密度，其不随时间平移 \(\Delta\) 而变化
- 一维概率密度函数 与时间无关
- 二维概率密度函数 只与 t1、t2 的时间间隔，时间差\(\tau\)有关， 而与“时间起点”无关
宽平稳随机过程
- 满足均方收敛
- 均值\(E[X(t)]\)为常数，与 t 无关
- 自相关系数 \(R_{X}(t_{1},t_{2})\) 只与时间间隔 \(\tau\) 有关
例 | 会推 | 一定记住答案
自相关函数性质
自相关函数的性质
同理可得
\(C_{X}\left(\tau\right)=C_{X}\left(-\tau\right)\)
自协方差函数在 \(\tau=0\) 上也具有最大值
此外，还有
- 周期平稳过程的
R 也为周期函数，且周期一致，即\(R_{X}(\tau+T)=R_{X}(\tau)\)
- 若平稳过程 X(t) 含有一个周期分量，那么 \(\mathsf{R}_\mathsf{X}(\mathsf{t})\) 也可能含有一个同周期的周期分量
- 若平稳过程不含有任何周期分量，则 \(\lim_{|\tau|\to\infty}R_{_X}(\tau)=R_{_X}(\infty)=m_{_X}^2\quad\text{(直流分量平方)}\)
- 若非周期平稳过程含有均值，则自相关有 \(R_{x}\left(\tau\right)=C_{x}\left(\tau\right)+{m_{x}}^{2}\)
- 平稳过程自相关函数中不会含有阶跃因子
例
例 | 通信原理中 DSBのPSD 推导
俩个随机过程的联合统计特性
一些同理的概念
- \(\mathsf{n}+\mathsf{m}\) 维联合分布函数
\[
\begin{array}{r l}&{F_{X T}\left(x_{1},...,x_{n};y_{1},...,y_{m};t_{1},...,t_{n},t_{1}^{\prime},...,t_{m}^{\prime}\right)}\\ &{\ =P\{X(t_{1})\leq x_{1},...,X(t_{n})\leq x_{n},Y(t_{1}^{\prime})\leq y_{1},...,Y(t_{m}^{\prime})\leq y_{m}\}}\end{array}
\]
- \(\mathsf{n}+\mathsf{m}\) 维联合概率密度
\[
{\begin{array}{r l}&{f_{X Y}(x_{1},...,x_{n};y_{1},...,y_{m};t_{1},...,t_{n},t_{1}^{\prime},...,t_{m}^{\prime})}\\ &{={\frac{\partial^{n+m}F_{X T}\left(x_{1},...,x_{n};y_{1},...,y_{m};t_{1},...,t_{n},t_{1}^{\prime},...,t_{m}^{\prime}\right)}{\partial x_{1}...\partial x_{n}\partial y_{1}...\partial y_{m}}}}\end{array}}
\]
\[
\begin{array}{r l}&{f_{X Y}\!\left(x_{1},...,x_{n};y_{1},...,y_{m};t_{1},...,t_{n},t_{1}^{\prime},...,t_{m}^{\prime}\right)}\\ &{\,={\bigl.}f_{X}\!\left(x_{1},...,x_{n};t_{1},...,t_{n}\right)\cdot{\bigl.}f_{Y}\!\left(y_{1},...,y_{m};t_{1}^{\prime},...,t_{m}^{\prime}\right)}\end{array}
\]
即不随时间变化
\[
\begin{array}{r l}&{f_{X Y}\left(x_{1},...,x_{n};y_{1},...,y_{m};t_{1},...,t_{n},t_{1}^{\prime},...,t_{m}^{\prime}\right)}\\ &{\,=\,f_{X Y}\left(x_{1},...,x_{n};y_{1},...,y_{m};t_{1}+\Delta t,...,t_{n}+\Delta t,t_{1}^{\prime}+\Delta t,...,t_{m}^{\prime}+\Delta t\right)}\end{array}
\]
正交与互相关
正交
\[
R_{X Y}(t_{1},t_{2})=0
\]
互不相关
\[
C_{X Y}\left(t_{1},t_{2}\right)=0
\]
若仅在同一时刻 t 存在 \(C_{X Y}\left(t,t\right)=0\)
则称两个过程在同一时刻的状态互不相关
联合平稳
两个平稳随机过程 的互相关函数是仅与 \(\tau\) 有关的函数，即
\[
R_{X Y}\left(t_{1},t_{2}\right)=E[X(t_{1})Y(t_{2})]=R_{X Y}(\tau),\tau=t_{2}-t_{1}
\]
则称之为联合宽平稳
若两个过程中存在不是平稳的，则一定不是
若是联合宽平稳，则两者一定为平稳随机过程
\[
\rho_{X Y}(\tau)=\frac{C_{X Y}(\tau)}{\sigma_{X}\sigma_{Y}}=\frac{R_{X Y}(\tau)-m_{X}m_{Y}}{\sigma_{X}\sigma_{Y}}
\]
联合平稳随机过程的性质
- 互相关函数
R 与互协方差函数 C不再是偶函数
- \(R_{X Y}(\tau)=0\) , \(\forall\,\tau\) 表示两个平稳过程正交
- \(R_{X Y}\left(0\right)=0\) 两个平稳过程所有同一时刻的状态正交
- \(C_{{X Y}}(\tau)=0\) , \(\forall\,\tau\) 表示两个平稳过程互不相关
- \(C_{X Y}\left(0\right)=0\) 两个平稳过程所有同一时刻的状态互不相关
例
\[
\begin{gathered}\text{已知随机过程 }X(t)\text{ 和 }Y(t)\text{ 独立且各自平稳,自相关函数为 }R_X(\tau)=2e^{-|\tau|}\cos\omega_0\tau\text{ 与}\\R_Y(\tau)=9+\exp(-3\tau^2)\text{ 。令随机过程 }Z(t)=AX(t)Y(t)\text{,其中 }A\text{ 是均值为 2,方差为9 的}\\\text{随机变量,且与}X(t)\text{和}Y(t)\text{相互独立。求过程}Z(t)\text{的均值、方差和自相关函数。}\end{gathered}
\]
均值：
\[
\begin{aligned}E\left[Z(t)\right]=E\left[AX(t)Y(t)\right]=E\left[A\right]E\left[X(t)\right]E\left[Y(t)\right]=2E\left[X(t)\right]E\left[Y(t)\right]\end{aligned}
\]
\[
m_{X}^{2}=R_{X}(\infty)=\lim_{\tau\to\infty}2e^{-|\tau|}\cos\omega_{0}\tau=0\text{,即}m_{X}=0\text{,所以有:}E[Z(t)]=0
\]
\[
E\left[A^2\right]=D\left[A\right]+E^2\left[A\right]=9+4=13
\]
自相关函数：
\[
\begin{aligned}R_z(t+\tau,t)&=E\left[A^{2}X(t+\tau)Y(t+\tau)X(t)Y(t)\right]\\&=E\left[A^{2}\right]E\left[X(t+\tau)Y(t+\tau)X(t)Y(t)\right]\\&=13E\left[X(t+\tau)X(t)\right]E\left[Y(t+\tau)Y(t)\right]\\&=13R_X(\tau)R_Y(\tau)=26e^{-|\tau|}(9+e^{-3\tau^2})\cos\omega_0\tau\end{aligned}
\]
方差：
\[
D\left[Z(t)\right]=R_z(0)=260
\]
一些其他过程
平稳随机过程一定是二阶矩过程
后无效性，未来只与现在有关，而与过去无关
复随机过程
主要区别：共轭
\[
{\dot{Z}}(t)=Z(t)-m_{Z}(t)
\]
复随机变量
\[
Z=X+j Y
\]
\[
m_{Z}=E[Z]=E[X]+j\cdot E[Y]=m_{X}+j\cdot m_{Y}
\]
\[
D[Z]=E[(X-m_{X})^{2}]+E[(Y-m_{Y})^{2}]=E[\mid\dot{Z}\mid^{2}]=D[X]+D[Y]
\]
\[
C_{Z_1Z_2}=E[\left(Z_1-m_{Z_1}\right)^*\cdot\left(Z_2-m_{Z_2}\right)]=E[\dot{Z_1}\cdot\dot{Z_2}]=C_{X1X2}+C_{Y1Y2}+j(C_{X1Y2}-C_{Y1X2})
\]
\[
f_{X_{1}Y_{1}X_{2}Y_{2}}(x_{1},y_{1},x_{2},y_{2})=f_{X_{1}Y_{1}}(x_{1},y_{1})\cdot f_{X_{2}Y_{2}}(x_{2},y_{2})
\]
\[
C_{Z_{1}Z_{2}}=E[(Z_{1}-m_{Z_{1}})^{*}(Z_{2}-m_{Z_{2}})]=0
\]
\[
R_{z_{1}z_{2}}=E[Z_{1}^{*}\cdot Z_{2}]=0
\]
复随机过程与其数字特征
同理，有
\[
\mathbf{Z(t)}=\mathbf{X(t)}+\mathbf{j}\mathbf{Y(t)}
\]
复随机平稳条件
\(\begin{array}{l}{{m_{Z}(t)=m_{X}+j\cdot m_{Y}=m_{Z}}}\\ {{R_{Z}(t,t+\tau)=R_{Z}(\tau)}}\end{array}\)
联合复随机平稳过程
联合复随机平稳充要条件
俩复随机过程平稳，且 \(R_{Z_{1}Z_{2}}(t,t+\tau)=R_{Z_{1}Z_{2}}(\tau)\)
\[
R_{Z_{1}Z_{2}}(t,t+\tau)=E[Z_{1}^{*}(t)\cdot Z_{2}(t+\tau)]
\]
\[
C_{Z}\left(t,t+\tau\right)=E\{\left[Z\left(t\right)-m_{Z}\left(t\right)\right]^{*}\cdot\left[Z\left(t+\tau\right)-m_{Z}\left(t+\tau\right)\right]\}
\]
\[
C_{z_{1}z_{2}}(t,t+\tau)=0
\]
\[
R_{Z_{1}Z_{2}}(t,t+\tau)=0
\]
例
例
\[
\begin{gathered}\text{设有复随机过程 }\xi(t)=\sum_{k=1}^N\eta_ke^{i\omega_kt}\text{,其中}\eta_k\left(1|\leq k\leq N\right)\text{是相互独立的}\\\text{随机变量,且服从正态分布 }N(0,\sigma_k^2)\mathrm{,}\omega_k\text{ 为常数。试求 }\xi(t)\text{ 的均值函数和相关函数。}\end{gathered}
\]
注意，利用独立可拆，均值为 0 求解
\[
\begin{aligned}E[\xi(t)]&=E[\sum\eta_k\cdot e^{jw_kt}]\\&=\sum E[\eta_k]\cdot e^{jw_kt}\\&=0\end{aligned}
\]
关于相关函数，n 维矩阵，除了对角线为方差，其余相乘后因为独立 + 均值为 0→ 都为 0
\[
\begin{aligned}R_\xi(t,t+\tau)&=E[\sum\eta_ke^{\mathrm{j}w_kt}\cdot\sum\eta_l\cdot e^{\mathrm{j}w_l(t+\tau)}]\\&=E[\sum[\eta_k^2]e^{\mathrm{j}w_kt}+0]\\&=\sum E[\eta_k^2]\cdot e^{\mathrm{j}w_kt}\\&=\sum\sigma_k^2e^{\mathrm{j}w_kt}\end{aligned}
\]
随机过程的微分&积分
随机序列的收敛
- 处处收敛（every where）
\[
\begin{aligned}&\zeta_1:x_1(1),x_1(2),\cdots,x_1(n)\to x_1\\&\zeta_2:x_2(1),x_2(2),\cdots,x_2(n)\to x_2,\quad(x_1,x_2,x_3)\in X\\&\zeta_3:x_3(1),x_3(2),\cdots,x_3(n)\to x_3\end{aligned}
\]
记作
\[
\operatorname*{lim}_{n\to\infty}X(n)=X
\]
或者
\[
\{X(n)\}\xrightarrow{e}X
\]
- 以概率 1 收敛（almost every where）
几乎处处收敛
\[
P\{\operatorname*{lim}_{n\to\infty}X(n)=X\}=1
\]
简记
\[
\{X(n)\}\xrightarrow{a.e}X
\]
- 依概率收敛
\[
\operatorname*{lim}_{n\rightarrow\infty}P\{|X(n)-X|\geq\varepsilon\}=0
\]
简记
\[
\{X(n)\}\xrightarrow{P}X
\]
- 依分布收敛
分布函数收敛
\[
\operatorname*{lim}_{n\rightarrow\infty}F_{n}(x)=F(x)
\]
简记
\[
\{X(n)\}\xrightarrow{d}X
\]
- 均方收敛
5 种收敛模式之间的关系
随机过程的连续性
可导必连续
随机过程处处连续
\[
\lim_{\Delta t\to0}x_\zeta(t+\Delta t)=x_\zeta(t),.................\forall\zeta\in\Omega
\]
均方连续
\[
\operatorname*{lim}_{\Delta t\to0}E\{[X(t+\Delta t)-X(t)]^{2}\}=0
\]
则称该二阶矩过程具有均方连续性简称过程 m.s 连续，表示为
\[
l\cdot i\cdot m X(t+\Delta t)=X(t)\quad t\in T
\]
充要条件
- 当且仅当其自相关函数 \(R_{X}(t_{1},t_{2})\quad t_{1}=t_{2}=t\) 在
T 上连续，则 X 均方连续
∵ \(\mathrm{\Delta}\cdot\mathrm{\Delta}t_{1}=t_{2}=t\)
∴ 上面的充要条件也可表示为: \(\operatorname{Rx}(\tau)\) 在 \(\tau=0\) 点连续是均方连续的充要
证明略，看都看不懂 🤪
性质
- 若平稳过程 X(t) 的\(R_{X}(\tau)\)在
0 处连续，则\(R_{X}(\tau)\)在所有 T 上也连续
- 均方连续的随机过程的期望也连续，极限与期望可互换
\[
l\cdot i\cdot m\;X(t+\Delta t)=X(t)\Longrightarrow\operatorname*{lim}_{\Delta t\rightarrow0}E[X(t+\Delta t)]=E[X(t)]
\]
平稳随机过程的均方连续准则
即：宽平稳过程 \(\{X(t);t\in(-\infty,+\infty)\}\) 均方连续的充分必要条件为：自相关函数\(R_{X X}(\tau)\) 在点 \(\tau=0\) 处连续
随机过程的微分
均方导数
满足
\[
\operatorname*{lim}_{\Delta t\rightarrow0}E\left\{\left[\frac{X(t+\Delta t)-X(t)}{\Delta t}-X^{\prime}(t)\right]^{2}\right\}=0
\]
或者
\[
l\cdot i\cdot m{\frac{X(t+\Delta t)-X(t)}{\Delta t}}=X^{\prime}(t)
\]
则有过程 X 的均方导数
\[
X^{\prime}(t)={\frac{d X(t)}{d t}}
\]
均方可微的充要条件
在 T 上存在二阶偏导
\[
\left.\frac{\partial^{2}R_{X}\left(t_{1},t_{2}\right)}{\partial t_{1}\partial t_{2}}\right|_{t_{1}=t_{2}=t}
\]
求导与期望
求导与求期望可以交换顺序，即
\[
E[\frac{d X(t)}{d t}]=\frac{d E[X(t)]}{d t}
\]
求导与自相关函数
导数的自相关=自相关函数的二阶偏导，即
\[
R_{Y}(t_{1},t_{2})=R_{X^{\prime}}(t_{1},t_{2})={\frac{\partial^{2}R_{X}(t_{1},t_{2})}{\partial t_{1}\partial t_{2}}}
\]
对平稳随机过程来说
期望为常数，自相关系数只与\(\tau\)有关
- 期望
\[
E[X^{\prime}(t)]=E[\frac{d X(t)}{d t}]=\frac{d E[X(t)]}{d t}=\frac{d (常数)}{d t}=0
\]
- 自相关函数
\[
R_{X^{\prime}}(t_{1},t_{2})=\frac{\partial^{2}R_{X}(t_{1},t_{2})}{\partial t_{1}\partial t_{2}}=-\frac{d^{2}R_{X}(\tau)}{d\tau^{2}}
\]
得到平稳随机过程均方可导的条件
\[
R^{\prime\prime}(\tau)\text{在}\tau=0\text{处存在}\\R^{\prime}(\tau)\text{在}\tau=0\text{处连续}
\]
特别对于实平稳过程，
若实平稳过程过程 \(X(t)\) 在 \(t\in T\) 上均方可导, 则有 : \(R^{\prime}(0)=0\)
例
积分略
高斯过程
高斯过程的一些定义，了解一下了解一下
一些性质
各态历经性
基于各态历经性（遍历性）用【时间平均值】代替【统计平均值】 ，以减少计算量
这必须在【平稳】的前提下进行
宽各态历经过程的定义计算与物理意义
宽各态历经过程的定义
若一个特征的【时间平均】，以概率 1 收敛其【统计平均】
则称此特征具有【各态历经性】
对于一个平稳随机过程 X，满足【均值与自相关】都具有各态历经性
\[
\begin{array}{r c l}{{a}}&{{=}}&{{\overline{{{a}}}}}\\ {{R\left(\tau\right)}}&{{=}}&{{\overline{{{R\left(\tau\right)}}}}}\end{array}
\]
具体有
\[
\begin{array}{l}{\overline{{a}}=\overline{{x(t)}}=\displaystyle\operatorname*{lim}_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}x(t)d t=m_{X}}\\ {\overline{{R(\tau)}}=\displaystyle\operatorname*{lim}_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}x(t)x(t+\tau)d t}\end{array}
\]
性质
了解一下
- 各态历经性一定是平稳随机过程，反之不一定
- 平稳随机过程 均值 具有各态历经性的充要条件
\[
\lim_{\tau\to\infty}\frac{1}{T}\int_0^{2\tau}(1-\frac{\tau}{2T})\cdot[R_X(\tau)-m_X^2]d\tau=0
\]
- 平稳随机过程 自相关函数 具有各态历经性的充要条件
\[
\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_0^{2T}(1-\frac{\tau_1}{2T})\cdot[B(\tau_1)-{R_X}^2(\tau)]d\tau_1=0\\\text{式中}B(\tau_1)=E[X(t+\tau+\tau_1)X(t+\tau_1)X(t+\tau)X(t)]R_X(\tau)=E[X(t+\tau)X(t)]
\]
\[
\int_{0}^{\infty}\left|R_{x}\left(\tau\right)\right|d\tau<\infty
\]
例
【扩 1】
修改题目，除了 \(\phi\) 为匀分布之外，增添条件： \(\alpha\) 服从标准高斯分布\(N(0,1)\)，且互相独立
证明：
- 容易推得
\[
m_x(t)=E[X(t)]=E[\alpha\cos(\omega_0t+\Phi)]=E[\alpha]\cdot E[\cos(\omega_0t+\Phi)]=0\cdot\cos(\omega_0t)=0
\]
\[
R_X(t,t+\tau)=E[\alpha^2]\cdot E[\cos(\omega_0t+\Phi)\cos(\omega_0(t+\tau)+\Phi)]=1\cdot\frac{1}{2}\cdot cos\omega_0\tau
\]
\[
R_X(0)=0.5<\infty
\]
故平稳
- 容易推得
\[
\overline{x(t)}=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}\alpha cos(\omega_0t+\phi)dt=\lim_{T\to\infty}\frac{\alpha}{\omega_0T}sin(\omega_0t+\phi)|_{-T/2}^{T/2}\xlongequal{w_0=2\pi/T}0
\]
而关于自相关函数的时间平均，易观察到有 \(\alpha^{2}\) 没有消去，故与 统计平均不相等
则不具有各态历经性
【扩 2】
修改题目，\(a,\omega_{0}\) 为常数，问
- \(\phi\) 在什么条件下，随机变量
X 是平稳的
- 均值为常数
\[
E[X(t)]=A\cdot E[cos(wt+\phi)]=A\cdot E[coswtcos\phi-sinwtsin\phi]=A\cdot\{coswtE[cos\phi]-sinwtE[sin\phi]\}
\]
要求为常数，与 t 无关，故
\[
E[c o s\phi]=E[s i n\phi]=0
\]
\[
m_{X}=0
\]
- 自相关函数
\[
R_{X}(\tau)=R_{X}(t,t+\tau)=\frac{A^{2}}{2}E[c o s w\tau+c o s(2w t+w\tau+2\phi)]
\]
同理可得
\[
E[c o s2\phi]=E[s i n2\phi]=0
\]
\[
R_{X}(t)=\frac{A^{2}}{2}c o s w\tau
\]
- \(\phi\) 在什么条件下，
X 具有各态历经性
求均值的时间平均值
\[
\overline{{x(t)}}=\operatorname*{lim}_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}A c o s(w t+\phi)d t=0=m_{X}
\]
求自相关的时间平均值
\[
R_{X}(\tau)=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}A^2cos(wt+\phi)cos(wt+w\tau+\phi)dt=\frac{A^2}{2}cosw\tau+\frac{A^2}{2T}\lim\int cos(2wt+w\tau+2\phi)dt
\]
好巧，后面积分项为 0
故满足平稳，即具有各态历经
写成明确的表达式
综合例
\(\begin{aligned}&\text{随机过程}X\left(t\right)=Acos(t)+Bsin(t),\text{ 其中}A\text{和}B\text{独立同标准高斯分布,}\\&\text{且}X(t)\text{的均方导数为}Y(t)=X^{^{\prime}}(t),\text{ 求:}\end{aligned}\)
\(X(t)\text{的期望,方差和自相关函数}\)
\(X(t)\text{是否各态历经?给出理由}\)
\(Y(t)\text{的自相关系数}\)
\(Y(t)\text{的一维概率密度}\)
\(X(t)\text{和}Y(t)\text{是否联合平稳?给出理由}\)
- 因独立，易得
\({E[X(t)]=E[A\cos(t)+B\sin(t)]=E[A]\cos(t)+E[B]\sin(t)=0}\)
\(\mathrm{Var}(X(t))=E[X(t)^2]-(E[X(t)])^2=E[X(t)^2]=E[(A\cos(t)+B\sin(t))^2]=cos^2(t)+sin^2(t)=1\)
\(R_{X}(t_{1},t_{2})=E[X(t_{1})X(t_{2})]=\cos(t_{1})\cos(t_{2})+\sin(t_{1})\sin(t_{2})=\cos(t_{1}-t_{2})\)
- 均值相等，但自相关函数多了 A 和 B，故不具有各态历经性
- \(R_{Y}(\tau)=-\frac{d^{2}R_{X}\left(\tau\right)}{d\tau^{2}}=-\frac{d^{2}\cos\tau}{d\tau^{2}}=\cos\tau\)
- 线性相加后，Y 仍为标准高斯过程 \(f_{Y}\left(y\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{y^{2}}{2}\right)\)
- 显然联合平稳（当然你也可以代入计算）
