随机信号的频域分析¶

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前提：Dirichlet Condition¶

周期函数
函数连续/只存在第一类断点
函数有有限个极值点
能量有界 (绝对可积)

实信号的频谱为复函数，即

\(S^{*}(\omega)=S(-\omega)\)

能量谱密度¶

\[ \int_{-\infty}^{\infty}\Big[s(t)\Big]^{2}\mathrm{d}t=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\Big|S(\omega)\Big|^{2}\mathrm{d}\omega \]

帕萨瓦尔定理得；\(\left|S(\omega)\right|^{2}\) 称为 \(s(t)\) 的能量谱密度

题外话—帕萨瓦尔定理推导

将一项 s(t) 用 IFT 表示

\[ \int_{-\infty}^{\infty}\left[s(t)\right]^{2}\mathrm{d}t=\int_{-\infty}^{\infty}s(t)\cdot\left[\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}S(\omega)\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}\omega\right]\mathrm{d}t \]

交换积分位置

\[ =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}S\left(\omega\right)\cdot\left[\int_{-\infty}^{\infty}s\left(t\right)\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t\right]\mathrm{d}\omega \]

积分得到共轭，模一致

\[ ={\frac{1}{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}S(\omega)\cdot S^{*}(\omega)\mathrm{d}\omega={\frac{1}{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\left|S(\omega)\right|^{2}\mathrm{d}\omega \]

证毕

功率信号¶

随机过程时域无限，而幅值有限

\[ \begin{array}{l}{\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\mid x_{k}^{2}(t)\mid d t\rightarrow\infty}\\ {\displaystyle\operatorname*{lim}_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}\mid x_{k}^{2}(t)\mid d t<\infty}\end{array} \]

故存在功率谱，称为功率信号

工程上使用【截尾函数】，取一段时间，则满足绝对可积条件，FT 存在

功率谱密度 PSD¶

为了描述随机过程 X 的平均功率在各个频率上的分布情况，即【单位频带上的平均功率】

有平均功率

\[ P=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}G_{X}(\omega)d\omega \]

其中 \(G_{X}(\omega)\) 称为 PSD

经过妙妙推导，有定义式

\[ G_{X}\left(\omega\right)=\operatorname*{lim}_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{2T}E[|X_{T}\left(\omega\right)|^{2}] \]

平稳随机过程 PSD 的性质

非负实偶 + 绝对可积 + 实轴上无极点

例

判断下列哪些函数满足平稳过程的功率谱密度的性质?

\[ \begin{array}{l l}{{\displaystyle f_{1}(\omega)=\cos3\omega}}&{{\qquad\displaystyle f_{2}(\omega)=\frac{1}{(\omega-1)^{2}+2}}}\\ {{\displaystyle f_{3}(\omega)=\frac{\omega^{2}+1}{\omega^{4}+5\omega^{2}+6}}}&{{\qquad\displaystyle f_{4}(\omega)=\frac{\omega^{2}+4}{\omega^{4}-4\omega^{2}+3}}}\end{array} \]

因为 \(f_{1}(\omega)\not\geq0 ；f_{2}(\omega) 非偶；f_{4}(\omega)在实数轴上有极点\)

所以只有 \(f_{3}(\omega)\) 满足平稳过程功率谱密度的性质

维纳—辛钦定理¶

功率谱密度与自相关函数关系¶

FT 对 \(R(\tau)\Leftrightarrow P_{\xi}(\omega)\)
即维纳-辛钦定理：实平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度构成一对傅里叶变换

先决条件：实平稳随机过程

用角频率\(\omega\)表示

\[ \begin{aligned}&P_\xi(\omega)=\int_{-\infty}^\infty R(\tau)e^{-j\omega\tau}d\tau\\&R(\tau)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}P_{\xi}(\omega)e^{j\omega\tau}d\omega\end{aligned} \]

这里的\(P_\xi(\omega)=G_X(\omega)\)

用频率\(f\)表示

\[ \begin{aligned}P_\xi(f)&=\int_{-\infty}^\infty R(\tau)e^{-j2\pi f\tau}d\tau\\R(\tau)&=\int_{-\infty}^\infty P_\xi(f)e^{j2\pi f\tau}df\end{aligned} \]

典型变换

\[ \begin{aligned}&1\Leftrightarrow2\pi\delta(\omega)\\&\cos(\omega_0\tau)\Leftrightarrow\pi[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)]\\&\sin(\omega_0\tau)\Leftrightarrow j\pi[\delta(\omega+\omega_0)-\delta(\omega-\omega_0)]\end{aligned} \]

例

例 | 部分分式展开

单边谱（物理功率谱）¶

用\(F_X(\omega)\)表示

互谱密度¶

定义 \(\mathbf{P}_{X Y}\) 中的被积函数为

\[ G_{X Y}(\omega)=\operatorname*{lim}_{\tau\to\infty}\frac{1}{2T}E[X_{\tau}^{*}(\omega)Y_{\tau}(\omega)] \]

且交换顺序下共轭相等，即

\[ G_{X Y}(\omega)=G_{Y X}^{}\mathrm{}^{*}(\omega) \]

互谱密度与与互相关函数的关系¶

为一对 FT

\[ G_{X Y}\left(\omega\right){\leftrightarrow}R_{X Y}\left(\tau\right) \]

注意 XY 有先后顺序

例

互谱的性质

\(G_{\scriptscriptstyle{X Y}}(\omega)=G_{_{Y X}}^{*}(\omega)=G_{_{Y X}}(-\omega)\) 为\(\omega\)复函数
互谱密度的实部\(\begin{cases}\mathrm{Re}[G_{XY}(\omega)]\\\mathrm{Re}[G_{YX}(\omega)]\end{cases}\)为\(\omega\)偶函数
互谱密度的虚部\(\begin{cases}\mathrm{Im}[G_{XY}(\omega)]\\\mathrm{Im}[G_{YX}(\omega)]\end{cases}\)为\(\omega\)奇函数
正交下 : \(\left\{\begin{array}{l}{{R_{X Y}(\tau)=0}}\\ {{R_{Y X}(\tau)=0}}\end{array}\right.\Rightarrow:\cdot\left\{\begin{array}{l l}{{G_{X Y}(\omega)=0}}\\ {{G_{Y X}(\omega)=0}}\end{array}\right.\)
互不相关下： \(G_{_{X Y}}(\omega)=G_{_{Y X}}(\omega)\)

例

注意复随机过程
我想你应该是知道自相关函数里面的参数是怎么看的吧（把 t 去掉）

差不多，但一定会考的课后【4-7】，快来做做吧！

例

白噪声¶

功率谱密度为常数（功率无限大），均值为零

自相关系数

\[ \rho_{s}(\tau)=\frac{R_{s}(\tau)}{R_{s}(0)}=\left\{1,\begin{array}{l l}{\quad\tau=0}\\ {\quad\tau\neq0}\end{array}\right. \]

白噪声 互不相关
这说明白噪声过程的样本随时间起伏极快，相当于好多个冲激函数

带限白噪声¶

低通滤波器

\[ R_{X}(\tau)=\frac{1}{2\pi}\cdot\int_{-\Omega/2}^{\Omega/2}G_{0}e^{j\omega\tau}d\omega=\frac{\Omega G_{0}}{2\pi}\cdot\frac{\sin(\Omega\tau/2)}{(\Omega\tau/2)} \]

回忆\(E\mathrm{Sa}\left(\frac{\omega_0t}{2}\right)\quad|\quad\frac{2\pi E}{\omega_0}\left[u\left(\omega+\frac{\omega_0}{2}\right)-u\left(\omega-\frac{\omega_0}{2}\right)\right]\)
求解 Sa 函数过零点小技巧
转化成 \(Sa(\frac{\pi t}{周期})\) 分母的 周期 就是过零点
频域越窄，时域越宽，这一点在通信原理已有所分析

带通滤波器

频谱搬移，乘 cos

色噪声¶

非白噪声，歪比巴卜

例 | 特征函数 | 了解一下

例 | 维纳辛钦定理

已知一平稳过程 \({X}(t)\) 的相关函数为

\[ R_{_X}(\tau)=\exp(-2\left|\tau\right|)\cos\tau+1 \]

求其功率谱密度及平均功率

解：

\[ \begin{array}{c}{{R_{\scriptscriptstyle X}(0)=\exp(-2\vert0\vert)\cos0+1\!=\!1\!+\!1=\!2=P_{\scriptscriptstyle X}}}\\ {{\because\,e^{-a\vert t\vert}\leftrightarrow\displaystyle\frac{2a}{\omega^{2}+a^{2}}}}\end{array} \]

\[ \begin{gathered}\therefore S_{X}(\omega)=F[R_{X}(\tau)]=F[\exp(-2|\tau|)\cos\tau+1]\\=\frac{1}{2\pi}\{\frac{4}{\omega^{2}+4}\otimes\pi[\delta(\omega+1)+\delta(\omega-1)]\}+2\pi\delta(\omega)\\=\frac{2}{\left(\omega+1\right)^{2}+4}+\frac{2}{\left(\omega-1\right)^{2}+4}+2\pi\delta(\omega)\end{gathered} \]

例 | 部分分式展开

例 | 联合平稳判断

讨论（加性）单频干扰：实平稳随机过程\(\mathrm{X}(\mathrm{t})\)受到加性的独立正弦分量\(\mathrm{Z(t)=}\mathrm{Acos}\left(\,\omega_{0}\mathrm{t}{+}\Theta\right)\) 的干扰，\(\Theta \sim \mathrm{U}[0,2\pi)\)

求：

受扰后的信号\({\rm Y}\left(\rm{t}\right)\)的相关函数;
信号\({\rm X}\left(\rm{t}\right)\)和\({\rm Y}\left(\rm{t}\right)\)是否联合平稳?若是求\({\rm Y}\left(\rm{t}\right)\)的功率谱与\({\rm G}_{XY}\left(\rm{t}\right)\)

求均值与自相关

\[ E[Z(t)]=AE[\cos(\omega_{0}t+\Theta)]=0 \]

\[ \begin{aligned}R_{Z}(t+\tau,t)&=E\left[A\cos(\omega_{0}t+\omega_{0}\tau)+\Theta)A\cos(\omega_{0}t+\Theta)\right]\\&=\frac{1}{2}A^{2}\cos\omega_{0}\tau\end{aligned} \]

对于 \(Y(t)=X(t)+Z(t)\)，有

\[ \begin{aligned}&R_{Y}(t+\tau,t)=E\left\{[X(t+\tau)+Z(t+\tau)][X(t)+Z(t)]\right\}\\&=R_{X}(t+\tau,t)+R_{XZ}(t+\tau,t)+R_{ZX}(t+\tau,t)+R_{Z}(t+\tau,t)\\&=R_{X}(t+\tau,t)+R_{Z}(t+\tau,t)\\&=R_{X}(\tau)+\frac{1}{2}A^{2}\cos\omega_{0}\tau\end{aligned} \]

同理得

\[ R_{XY}(t+\tau,t)=E\left\{X(t+\tau)[X(t)+Z(t)]\right\}=R_{X}(\tau) \]

满足条件，则联合平稳

容易得到 PSD 为

\[ S_Y(\omega)=S_X(\omega)+\frac{\pi A^2}{2}[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)] \]

\[ S_{_{XY}}(\omega)=S_{_X}(\omega) \]