通过线性系统¶

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先导知识

线性时不变系统的特点
冲激响应、其性质与卷积
传递函数
系统的稳定性（绝对可积）；物理上极点在虚轴左侧
系统的因果性 S&S 笔记—系统

随机信号通过线性系统¶

时域分析¶

都是确定的时间函数

输出均值

\[ E[Y(t)]=\int_{0}^{x}{E[X(t-\tau)]h(\tau)d\tau}=\int_{0}^{\infty}{m_{X}(t-\tau)h(\tau)d\tau}=m_{Y}(t) \]

输入与输出的互相关

\[ \begin{array}{l l l}{\displaystyle R_{X Y}(t_{1},t_{2})=E[X(t_{1})Y(t_{2})]=E[X(t_{1})\int_{0}^{\infty}h(u)X(t_{2}-u)d u]}\\ {\displaystyle=\int_{0}^{\infty}h(u)E[X(t_{1})X(t_{2}-u)]d u=\int_{0}^{\infty}h(u)R_{X}(t_{1},t_{2}-u)d u}\end{array} \]

\[ =R_{X}(t_{1},t_{2})\ast h(t_{2}) \]

同理

\[ \begin{array}{c}{{R_{Y X}(t_{1},t_{2})=E[Y(t_{1})X(t_{2})]=\displaystyle\int_{0}^{\infty}h(u)R_{x}(t_{1}-u,t_{2})d u}}\\ {{=R_{X}(t_{1},t_{2})*h(t_{1})}}\end{array} \]

输出自相关

\[ \begin{array}{l}{R_{Y}(t_{1},t_{2})={E}[Y(t_{1})Y(t_{2})]}\\ {\displaystyle=E[\int_{0}^{\infty}h(u)X(t_{1}-u)d u\int_{0}^{\infty}h(v)X(t_{2}-v)d v]}\\ {\displaystyle=\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}h(u)h(v)E[X(t_{1}-u)X(t_{2}-v)]d u d v}\\ {\displaystyle=\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}h(u)h(v)R_{x}(t_{1}-u,t_{2}-v)d u d v}\\ {\displaystyle=h(t_{1})\ast h(t_{2})\ast R_{X}(t_{1},t_{2})}\end{array} \]

总结互相关与自相关之间的关系

平稳随机过程通过线性系统¶

前提：输入 双侧随机信号
单边信号相当于在 0 处有一个阶跃信号，则输出必然不平稳

性质

若输入平稳/宽各态历经，则输出平稳（不论宽严）/宽各态历经

\(\begin{array}{l}{{E[Y(t)]=m_{X}\cdot\int_{0}^{\infty}h(t)d t=m_{X}\cdot H(0)}}\\ {{\displaystyle R_{X Y}\left(\tau\right)=R_{X}\left(\tau\right)*h(\tau)\quad R_{Y X}\left(\tau\right)=R_{X}\left(\tau\right)*h(-\tau)}}\\ {{\displaystyle R_{Y}\left(\tau\right)=R_{X}\left(\tau\right)*h(\tau)*h(-\tau)}}\\ {{\displaystyle R_{Y}\left(\tau\right)=R_{X Y}\left(\tau\right)*h(-\tau)\quad R_{Y}\left(\tau\right)=R_{Y X}\left(\tau\right)*h(\tau)}}\end{array}\)

当输出噪声带宽远大于系统带宽（10 倍），就可当作白噪声
且能很好的测出系统的冲激响应与输入输出的互相关函数\(R_{X Y}\)

频域分析¶

输入仍为平稳双侧信号

均值

\[ \begin{aligned}&m_{Y}=m_{X}\int_{0}^{\infty}h(\tau)d\tau=m_{X}\cdot\int_{0}^{\infty}h(\tau)e^{-j0\tau}d\tau\\&=m_{X}\cdot H\left(0\right)\end{aligned} \]

功率谱密度

\[ \begin{cases}R_{XY}(\tau)=R_X(\tau)*h(\tau)\\G_{XY}(\omega)=G_X(\omega)\cdot H(\omega)&\end{cases}.........\begin{cases}R_{YX}(\tau)=R_X(\tau)*h(-\tau)\\G_{YX}(\omega)=G_X(\omega)\cdot H(-\omega)&\end{cases} \]

注意到\(H(-\omega)=H^*(\omega)\)(线性时不变下)

不难发现，有

\(R_{XY}(\tau)=R_{YX}(-\tau)\)

\(\begin{aligned}&R_{Y}(\tau)=R_X(\tau)*h(\tau)*h(-\tau)\\&G_{Y}(\omega)=G_X(\omega)\cdot H(\omega)\cdot H(-\omega)=G_X(\omega)\cdot\left|H(\omega)\right|^2\end{aligned}\)

平均功率

\[ \mathbf{P}_{Y}={\frac{1}{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}G_{Y}(\omega)d\omega={\frac{1}{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}G_{X}(\omega)\cdot|H(\omega)|^{2}\,d\omega=R_{Y}(0) \]

例

\(R_{X}(\tau)=\frac{N_{0}}{2}\delta(\tau)\) ，频域下求经过低通滤波后的输出自相关函数

\[ R_{{}_{X}}(\tau)={\frac{N_{0}}{2}}\delta(\tau)\leftrightarrow G_{{}_{X}}(\omega)={\frac{N_{0}}{2}} \]

已知传递函数

\[ h(t)=b e^{-b t}\cdot U(t)\leftrightarrow H(\omega)=\frac{b}{b+j\omega} \]

求输出 PSD

\[ \therefore\left|H(\omega)\right|^{2}={\frac{b^{2}}{b^{2}+\omega^{2}}}\quad G_{Y}(\omega)=G_{X}(\omega)\cdot|H(\omega)|^{2}={\frac{N_{0}}{2}}\cdot{\frac{b^{2}}{b^{2}+\omega^{2}}} \]

求逆变换

\[ \therefore R_{\scriptscriptstyle{Y}}(\tau)=\frac{N_{\scriptscriptstyle0}b}{4}\cdot e^{-b|\tau|} \]

多个随机信号穿过线性系统¶

基于线性叠加，可得均值与自相关

令

\[ Y_{1}(t)=X_{1}(t)*h(t)\quad Y_{2}(t)=X_{2}(t)*h(t) \]

因为 X 平稳，故有

\[ \begin{aligned}&{{m_{X}=m_{X_{1}}+m_{X_{2}}}}\\ &{{{{R}}_{X}(\tau)={{R}}_{X_{1}}(\tau)+{{R}}_{X_{2}}(\tau)+{{R}}_{X_{1}X_{2}}(\tau)+{{R}}_{X_{2}X_{1}}(\tau)}}\end{aligned} \]

输出均值为

\[ \begin{aligned}&{{E[Y(t)]=(m_{X_{1}}+m_{X_{2}})\displaystyle\int_{0}^{\infty}h(\tau)d\tau=m_{X_{1}}\displaystyle\int_{0}^{\infty}h(\tau)d\tau+m_{X_{2}}\displaystyle\int_{0}^{\infty}h(\tau)d\tau}}\\ & {{=m_{Y_{1}}+m_{Y_{2}}=m_{Y}}}\end{aligned} \]

输出自相关函数为

\[ {\begin{aligned}&{R_{Y}(\tau)=R_{X}(\tau)*h(\tau)*h(-\tau)}\\ &{\ =[R_{X_{1}}(\tau)+R_{X_{2}}(\tau)+R_{X_{1}X_{2}}(\tau)+R_{X_{2}X_{1}}(\tau)]*h(\tau)*h(-\tau)}\end{aligned}} \]

输出功率谱密度为

\[ \begin{aligned}&{G_{Y}(\omega)=G_{X}(\omega)\!\cdot\!\mid H(\omega)\mid^{2}}\\ &{ =[G_{X_{1}}(\omega)+G_{X_{2}}(\omega)+G_{X_{1}X_{2}}(\omega)+G_{X_{2}X_{1}}(\omega)]\!\cdot\!\mid H(\omega)\mid^{2}}\end{aligned} \]

特别的，当输入互不相关且至少一个的均值为 0 时，互相关与互谱密度为 0，有

\[ R_{Y}(\tau)==\left[R_{X_{1}}(\tau)+R_{X_{2}}(\tau)\right]*h(\tau)*h(-\tau) \]

\[ {G_{Y}(\omega)=[G_{X_{1}}(\omega)+G_{X_{2}}(\omega)] \cdot| H(\omega)|^{2}} \]

色噪声的产生与白化滤波器¶

输入白噪声产生色噪声¶

从 s 域分析，构造稳定的 \(\mathrm{H}(\mathrm{w})\) ，选 \(\left\{\overline{{G_{Y}\left(s\right)}}\quad\overline{{G_{Y}\left(-s\right)}}\right\}\) 中极点位于 s 的左半平面的作为 \(\rm H(\rm s)\)

例

设计一稳定的线性系统，使其在具有单位谱的白噪声激励下输出功率谱为:

\[ G_{_{Y}}(\omega)\!=\!\frac{25\omega^{2}+49}{\omega^{4}+10\omega^{2}+9} \]

解：

转为 s 域

\[ G_{Y}(s)={\frac{49-25s^{2}}{s^{4}-10s^{2}+9}} \]

因式分解

\[ G_{Y}(s)=\frac{(7+5s)(7-5s)}{(1-s^{2})(9-s^{2})} \]

分母按照【s】【-s】分类，选择极点都在左半面的，即

\[ {\overline{{G_{Y}(s)}}}={\frac{7\pm5s}{(s+1)(s+3)}}=H(s) \]

用\(j\omega\)表示

\[ H(\omega)=\frac{7\pm5j\omega}{(j\omega+1)(j\omega+3)} \]

白化滤波 | 输入任意输出白噪声¶

依题意得

\[ G_{Y}(\omega)=G_{X}(\omega)\cdot|H(\omega)|^{2}=1 \]

则

\[ \frac{1}{G_{X}(\omega)}=H(\omega)\cdot H(-\omega) \]

转化到 s 域

\[ {\frac{1}{G_{X}(s)}}={\frac{1}{\overline{G_{X}(s)}}}\cdot{\frac{1}{\overline{G_{X}(-s)}}}=H(s)\cdot H(-s) \]

选择 \({\frac{1}{\overline{{G_{_{Y}}(s)}}}} \quad {\frac{1}{\overline{{G_{_{Y}}(-s)}}}}\) 中稳定的那个作为 \(H(s)\)

白噪通过电子线路|等效噪声带宽¶

白噪声通过线性系统¶

半功率点带宽

输出的自相关函数（在频域求）

\[ R_{Y}(\tau)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{N_{0}}{2}\left|H(\omega)\right|^{2}e^{j\omega\tau}d\omega=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}N_{0}\left|H(\omega)\right|^{2}\cos\omega\tau d\omega \]

平均功率为 均方值

\[ {\bf P}_{Y}=\frac{N_{0}}{2\pi}\int_{0}^{\infty}\left|H\left(\omega\right)\right|^{2}d\omega \]

这里可用帕萨瓦尔定理求解积分

噪声等效带宽

\[ \Delta\omega_{e}=\frac{\int_{0}^{\infty}\left|H(\omega)\right|^{2}d\omega}{\left|H(\omega)\right|_{M a x}^{2}}=\frac{\frac{2\pi}{N_{0}}\cdot\mathbf{P}_{Y}}{\left|H(\omega)\right|_{M a x}^{2}} \]

注意，积分从 0 开始（本身为双边谱，变为单边谱后，系数 2 与功率上的 ½ 抵消）

例 | 半功率点与等效带宽

滤波器阶数越高，半功率点越接近等效带宽

白噪声通过理想低通、带通系统¶

了解一下，具体公式结论不用记，理解概念

低通

功率谱密度

\[ GY(\omega)=\begin{cases}\frac{N_0A^2}{2},0\lhd\omega|<\frac{\Delta\omega}{2}\\0,\text{其他}\end{cases}\quad FY(\omega)=\begin{cases}N_0A^2,0<\omega<\frac{\Delta\omega}{2}\\0,\text{其他}\end{cases} \]

自相关函数

\[ \begin{aligned}RY(\tau)&=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}F_{Y}(\omega)\cos\omega\tau d\omega=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\Delta\omega/2}N_{0}A^{2}\cos\omega\tau d\omega\\&=\frac{N_{0}A^{2}\Delta\omega}{4\pi}\cdot\frac{\sin\frac{\Delta\omega\tau}{2}}{\frac{\Delta\omega\tau}{2}}\end{aligned} \]

平均功率

\[ \mathbf{P}Y=E[Y^2(t)]=\frac{N_0A^2\Delta\omega}{4\pi} \]

相关时间

\[ \tau_0=\int_0^\infty\rho Y(\tau)d\tau=\int_0^\infty\frac{\sin\frac{\Delta\omega\tau}2}{\frac{\Delta\omega\tau}2}d\tau=\frac\pi{\Delta\omega}=\frac1{2\Delta f} \]

与半功率带宽/等效噪声带宽成反比

带通

注意窄带的概念

功率谱密度

取值区间变

\[ GY(\omega)=\begin{cases}\frac{N0A^2}{2},&\quad\omega_0-\frac{\Delta\omega}{2}<\mid\omega\mid<\omega_0+\frac{\Delta\omega}{2}\\0,&\quad\text{其他}\end{cases} \]

\[ FY(\omega)=\begin{cases}N_0A^2,&\quad\omega_0-\Delta\frac{\omega}{2}<\omega<\omega_0+\frac{\Delta\omega}{2}\\0,&\quad\text{其他}\end{cases} \]

自相关函数

两倍

\[ \begin{aligned}&R_{Y}(\tau)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}F_{Y}(\omega)\cos\omega\tau d\omega=\frac{1}{2\pi}\int_{\omega_{0}-\frac{\Delta\omega}{2}}^{\omega_{0}+\frac{\Delta\omega}{2}}N_{0}A^{2}\cos\omega\tau d\omega\\&=2\left[\frac{N_{0}A^{2}\Delta\omega}{4\pi}\cdot\frac{\sin\frac{\Delta\omega\tau}{2}}{\frac{\Delta\omega\tau}{2}}\right]\cdot\cos\omega0\tau=a(\tau)\cdot\cos\omega0\tau\\&=2R_Y(\text{低通})(\tau)\cdot\cos\omega_0\tau\end{aligned} \]

平均功率

两倍

\[ \mathbf{P}_Y=E[Y^2(t)]=\frac{N_0A^2\Delta\omega}{4\pi}\cdot2 \]

相关时间

与低通一样。反应包络起伏梯度

线性系统输出随机信号概率分布¶

一个结论

当输入信号等效噪声带宽远远大于系统的带宽时，输出近似高斯分布

例

设平稳随机过程\(\mathrm{X}(\mathrm{t})\)的功率谱密度\(G_{X}(\omega)=2\beta\)通过一线性系统后,输出\(Y(t)=\int_{-\infty}^{t}e^{-2(t-\lambda)}\cdot X(\lambda)d\lambda\)

求: \((1)\:{\rm Y}({\rm t})\) 的平均功率, \(\rm{(2)}\:\rm{Y(t)}\) 的一维概率密度

求平均功率 \(R_{Y}(0)\) ,即求 \(G_{Y}(\omega)=|{ H}(\omega)|^{2}G_{X}(\omega)\)

从\(Y(t)=\int_{-\infty}^{t}e^{-2(t-\lambda)}\cdot X(\lambda)d\lambda\)注意到

\[ h(\tau)=e^{-2\tau} \]

故其 PSD 为

\[ H(\omega)=\frac{1}{j\omega+2} \]

则

\[ G_{Y}(\omega)=|H(\omega)|^{2}G_{X}(\omega)=\frac{2\beta}{\omega^{2}+4} \]

求逆变换

\[ R_{Y}(\tau)=\frac{2\beta}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\omega^{2}+4}e^{j\omega\tau}d\omega \]

求平均功率

\[ R_{Y}(0)=\frac{\beta}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\frac{\omega^{2}}{2}+1}d\frac{\omega}{2}=\frac{\beta}{2\pi}\cdot\arctan\frac{\omega}{2}|_{-\infty}^{+\infty}=\frac{\beta}{2} \]

求概率密度函数

高斯白噪声经过系统后仍然是高斯的，故只需要求出均值与方差

\[ R_{X}(\tau)=2\beta\delta(\tau) \]

则均值为 0，即

\[ m_{X}=0 \]

所以

\[ m_{Y}=m_{X}*h(\tau)=0 \]

进一步得到方差

\[ \sigma_{Y}^{2}=R_{Y}\left(0\right)=\frac{\beta}{2} \]

最后得到结果

\[ f_{Y}(y;t)=\frac{1}{\sqrt{\pi\beta}}e^{-\frac{y^{2}}{\beta}} \]

必考大题

仿例 4.4，改\(X(t)=\alpha\cos(\omega_{0}t+\phi),\phi\sim U(0,2\pi)\)

冲激响应与频响函数：\(h(t)=be^{-bt}\cdot U(t)\leftrightarrow H(\omega)=\frac{b}{b+j\omega}\)

\((1)\quad R_Y(\tau)\quad(2)\text{输出的平均功率}\quad(3)R_{XY}(\tau)\quad R_{YX}(\tau)\)

均值

\[ E[X(t)]=0 \]

自相关

\[ R_{X}(\tau)=E[X(t)X(t+\tau)]={\frac{\alpha^{2}}{2}}\cos\omega\tau \]

顺便预习复习一下平稳的条件

功率谱密度

\[ G_{X}(\omega)=\frac{\alpha^{2}}{2}\pi\big[\delta(\omega+\omega_{0})+\delta(\omega-\omega_{0})\big] \]

已知系统函数

\[ H(\omega)={\frac{b}{j\omega+b}} \]

所以得到 PSD

这里利用冲激函数性质

\[ \begin{array}{c}{{G_Y(\omega)={\displaystyle\frac{b^{2}}{\omega^{2}+b^{2}}}\cdot{\frac{\alpha^{2}}{2}}\pi\big[\delta(\omega+\omega_{0})+\delta(\omega-\omega_{0})\big]={\displaystyle\frac{b^{2}}{\omega_{0}^{2}+b^{2}}}\cdot{\frac{\alpha^{2}}{2}}\pi\big[\delta(\omega+\omega_{0})+\delta(\omega+\omega_{0})\big]}}\\ {{={\displaystyle\frac{\alpha^{2}b^{2}}{2(\omega_{0}^{2}+b^{2})}}\cos\omega_{0}\tau}}\end{array} \]

所以平均功率为

\[ R_{Y}(0)=\frac{\alpha^{2}b^{2}}{2(\omega_{0}^{2}+b^{2})} \]

再计算互相关函数

\[ \begin{aligned}&{R_{X Y}(\tau)=R_{X}(\tau)*h(\tau)}\\ &{R_{Y X}(\tau)=R_{X}(\tau)*h(-\tau)}\end{aligned} \]

放到频域上，结合冲激函数的性质，再逆变换即可。最后有

\[ \begin{array}{l}{{\displaystyle R_{X Y}(\tau)=\frac{\alpha^{2}}{4}\big[\frac{b}{-j\omega+b}e^{-j\omega_{0}\tau}+\frac{b}{j\omega+b}e^{j\omega_{0}\tau}\big]}}\\ {{\displaystyle R_{Y X}(\tau)=\frac{\alpha^{2}}{4}\big[\frac{b}{j\omega+b}e^{-j\omega_{0}\tau}+\frac{b}{-j\omega+b}e^{j\omega_{0}\tau}\big]}}\end{array} \]

用\(R_{X Y}(\tau)=R_{Y X}(-\tau)\)，不难验证其正确

不一样就是你对 ¯\_(ツ)_/¯