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S&S 基本概念

 

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基础概念

信息：能让我看清世界的 咒语（状态描述）——mantra
信息量：与承载发生可能性成负相关 $ =-\log_{2}\left[p(x)\right]$
信号（signal）：承载咒语的媒介（光、电、声音）
系统（system）：input&output

分类

维度：一维（声音）、二维（rgb 图像）、三维（视频）
性质：确定性信号/随机信号
自变量范围：时域/频域有限信号
一维信号：连续 x(t){模拟、量化}、离散 x[n]{抽样、数字}

信号可以有的特点

周期性：\(x(t)=x(t+mT)\)、\(x[n]=x[n+mN]\)

对称性：奇信号/偶信号/奇谐信号/偶谐信号

一个信号可被唯一地拆分为一奇一偶两个子信号

$$ x(t)=[\frac{x(t)+x(-t)}{2}]+[\frac{x(t)-x(-t)}{2}]=x_e(t)+x_o(t) $$

E&P / 能量与功率

在一定范围内：
\(\begin{aligned}E&=\sum_{n=n_1}^{n_2}x^2[n],P = \frac{1}{n_2-n_1+1}\sum_{n=n_1}^{n_2}x^2[n]\end{aligned}\)
\(\begin{aligned}E&=\int_{t_{0}}^{t_{1}}|x(t)|^{2}dt,P&=\frac{1}{t_{1}-t_{0}}\int_{t_{0}}^{t_{1}}|x(t_{1})|^{2}dt\end{aligned}\)
能量信号 ：时域有界信号
即 \(\int_{-\infty}^{+\infty}x^2\left(t\right)\mathrm{d}t<+\infty\),能量有界
功率信号 ：幅值有界信号
即 $\lim_{T\to+\infty}\frac1T\int_{-T/2}^{T/2}\mid x(t)\mid^2\mathrm{d}t<+\infty $，功率有界

复指数信号

\(x(t)=A\mathrm{e}^{(\sigma+\mathrm{j}\omega_0)t}=A\mathrm{e}^{st}\)

分类：
直流信号： \(\sigma、\omega_{0}=0\)
实指数信号： \(\sigma\neq0,\omega_0=0\)
正弦指数信号： \(\sigma=0,\omega_0\neq0\)
此时根据欧拉公式，有：\(\begin{cases}\sin(\omega_0t)=\frac{1}{2j}(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_0t}-\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega_0t})\\\\\cos(\omega_0t)=\frac{1}{2}(\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega_0t}+\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega_0t})\end{cases}\)

典型信号

连续信号

\[ u(t)=\begin{cases}0&t<0\\[2ex]1&t>0\end{cases} \]

0 处的值不影响（有限个断点不影响函数积分，即两函数仍然相等【勒贝格定义】）

\[ \delta(t)=\begin{cases}+\infty&t=0\\0&t\neq0\end{cases} \]

注意，这一奇异信号由 阶跃信号求导 而来

性质

  1. \(\int_{-\infty}^{+\infty}\delta\left(t\right)dt=1,\int_{a}^{b}\delta(t)dt=\begin{cases}1\quad(a<0,b>0)\\-1\quad(a>0,b<0)\\0\quad else\end{cases}\) 偶对称
  2. \(\int_{-\infty}^{+\infty}x\left(t\right)\delta\left(t-t_0\right)dt=x\left(t_0\right)\) 抽样
  3. \(f_1(t)=x\left(t\right)\delta\left(t\right)=x\left(0\right)\delta\left(t\right)=f_2(t)\)
  4. \(\delta\left(at\right)=\frac{1}{|a|}\delta\left(t\right)\)
  5. \(\delta\left(f\left(t\right)\right)=\sum_{\text{所有}f\left(t_{0}\right)=0}\frac{1}{\left|f^{\prime}\left(t_{0}\right)\right|}\delta \left(t-t_{0}\right)\) 此为第四点的扩展
  6. \(\lim_{w\to+\infty}\frac{\sin\left(wt\right)}{\pi t}=\delta\left(t\right)\)
  7. \(x(t)*\delta(t-t_0) = x(t-t_0)\)
  8. 对于冲激偶函数，有：\({\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta^{\prime}(t)\mathrm{d}t=-f^{\prime}(0)}\)

傅里叶变换后为矩形，用于抽样
\(Sa(t)={\frac{\sin t}{t}} \quad sinc(t）={\frac{sin(\pi t)}{\pi t}}\)

\[ 特别的，有\int_0^\infty\frac{\sin t}t\operatorname{d}t=\frac\pi2,\quad\int_{-\infty}^\infty\frac{\sin t}t\operatorname{d}t=\pi ,\quad \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin\left(wt\right)}{t}dt=\pi\left(w>0\right) \]

离散信号

\[ \delta[n]=\begin{cases}1,&n=0\\\\0,&n\neq0\end{cases} \]

用于采样。因此，一个序列可用\(x[n]=\sum_{n_0=-\infty}^{+\infty}x[n_0]\delta[n-n_0]\)表示

\[ u[n]=\begin{cases}1,&n\geqslant0\\\\0,&n<0\end{cases} \]

\(有 \quad u[n]=\sum_{n_0=-\infty}^{+\infty}u[n_0]\delta[n-n_0]=\sum_{n_0=1}^{+\infty}\delta[n-n_0]\)

\[ R_N[n]=\begin{cases}1,&0\leqslant n\leqslant N-1\\\\0,&\text{else }\end{cases} \]
\[ x[n]=a^nu[n] \]

\[ x[n]=\sin(\Omega_0n)\\\\x[n]=\cos(\Omega_0n) \]
\[ x[n]=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\boldsymbol{\Omega}_0n}=\cos(\boldsymbol{\Omega}_0n)+\mathrm{jsin}(\boldsymbol{\Omega}_0n) \]

有 \(\sin(\Omega_0(n+kN))\equiv\sin(\Omega_0n)\)

即 \(N\Omega_0=2\pi m\)

得到条件：\(\frac{2\pi}{\Omega_0}=\frac Nm\quad\text{或}\quad 最小正周期N=\frac{2\pi}{\Omega_0}m \quad\) 是有理数

\(-\pi\leqslant\Omega_0\leqslant\pi\quad\text{或}\quad0\leqslant\Omega_0\leqslant2\pi\)

信号基础变换

  • 有平移、反褶、比例变换
  • 左加右减.配合信号性质灵活应用
  • 做题做题，不再赘述

Remember

对于离散信号，放大要补零【上采样】，缩小即失真【下采样】

系统

  1. 连续系统与离散系统
连续为微分模型、离散为差分模型
  1. 线性系统：同时满足齐次性和叠加性
具有 频率保持性

微分器、积分器 如$tx(t)、\frac{dx\left(t\right)}{dt}、\int_{-\infty}^{t}x\left(t\right)d\tau $,满足每一项都是一次项 a·x(t)（常系数（微积分）方程

  1. 因果系统：输出只由现在和过去的输出决定，系统响应 迟于 激励信号变化

  1. 即时(无记忆)系统/动态系统
y(t)的值仅仅取决于 x(t) ，即式子仅为 x(t)/x[n] =
因果系统 包含 无记忆系统

  1. 可逆系统： 存在反函数 如积分器是可逆，而微分器不可逆

  2. 集总参数系统（常微分方程）/分布参数系统（偏微分方程）

  3. 稳定系统：输入有界，则输出有界