FS/FT¶

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概念

函数的正交性特点：函数乘积积分=0，且自身平方的积分收敛

\[ \begin{cases}\int_{t_1}^{t_2}g_1(t)g_2(t)dt=0\\\\\int_{t_1}^{t_2}g_i^2(t)dt=k_i&i=1,2\end{cases} \]

正交函数集：

\[ \begin{cases}\int_{t_1}^{t_2}g_i^2(t)dt=k_i&i=1,2,\cdots,n\\\int_{t_1}^{t_2}g_i(t)g_j(t)dt=0&i,j=1,2,\cdots,n,\text{且}i\neq j\end{cases} \]

函数的正交分解：分解成 n 个正交函数。分为完备/不完备正交

结论先行，便于查阅¶

结论

对周期函数的傅里叶级数表示--FS¶

参考文章：从正交函数到傅里叶级数

一个周期内的三角函数性质

$\int_{t_0}^{t_0+T}\cos n\omega_0t\cdot\sin m\omega_0tdt=0 \quad sin与cos正交$
$\int_{t_0}^{t_0+T}\cos n\omega_0t\cdot\cos m\omega_0tdt=\begin{cases}0&m\neq n\\\dfrac{T}{2}&m=n\end{cases} \quad 当w不一致时正交$ ｛相等后平方，积分不为 0｝
$\int_{t_0}^{t_0+T}\sin n\omega_0t\cdot\sin m\omega_0tdt=\begin{cases}0&m\neq n\\\dfrac{T}{2}&m=n\end{cases}$
$\int_{t_0}^{t_0+T}\mathrm{e}^{\mathrm{j}n\omega_0t}\bullet\mathrm{e}^{-\mathrm{j}m\omega_0t}\mathrm{d}t=\begin{cases}\begin{array}{cc}0&m\neq n\\\\T&m=n\end{array}\end{cases}$ 指数形式下的正交条件 {不消除 e 则存在周期性}

前提：德里克里条件¶

周期函数
函数连续/只存在第一类断点
函数有有限个极值点
能量有界（绝对可积）

傅里叶级数的三角表达式¶

\[ f(t)=\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^{+\infty}\left(a_ncosn\omega_0t+b_nsinn\omega_0t\right) \]

其中，

$ 直流分量\quad \frac{a_0}2=\frac1T\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)dt $

$ 余弦分量 \quad a_n=\frac{2}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)\cos n\omega_0tdt $

$正弦分量 \quad b_n=\frac2T\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)\sin n\omega_0tdt $(1)

计算分母有平方升角后多了2

用三角正交集表示，有

$\begin{aligned}&f(t)=\frac{c_0}2+\sum_{n=1}^{+\infty}c_n\cos(n\omega_0t+\varphi_n)\\&f(t)=\frac{d_0}2+\sum_{n=1}^{+\infty}d_n\sin(n\omega_0t+\theta_n)\end{aligned}$

其中
相位与分量之间的关系： $\begin{aligned}&\tan\theta_n=\frac{a_n}{b_n}\\&\tan\varphi_n=-\frac{b_n}{a_n}\end{aligned}$

$\begin{aligned}&a_0=c_0=d_0\\&c_n=d_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2}\\&a_n=c_n\cos\varphi_n=d_n\sin\theta_n\\&b_n=-c_n\sin\varphi_n=d_n\cos\theta_n\end{aligned}$

傅里叶级数的指数形式¶

$f(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}F_ne^{jn\omega_0t}$(1)

注意是从负无穷到正无穷，有负数项

其中，
$F_n=\frac1T\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)e^{-jn\omega_0t}dt$

注意还要另外算 F0--直流分量

两种形式的系数关联¶

一图带你看懂

引入了负频率

说明

\[\begin{aligned} &F_0=\frac{a_0}2=\frac{c_0}2//\text{直流分量} \\ &F_{n}=\mid F_{n}\mid\mathrm{e}^{\mathrm{j}\varphi_{n}}=\frac12(a_{n}-\mathrm{j}b_{n})=\frac12c_{n}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\varphi_{n}} \\ &F_{-n}=\frac12(a_n+\mathrm{j}b_n)=\frac12c_n\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\varphi_n}\quad//\text{频率(共轭} \\ &\mid F_n\mid=\frac12c_n=\mid F_{-n}\mid \\ &\varphi_n=-\arctan\frac{b_n}{a_n}\text{:相位角} \\ &F_{n}+F_{-n}=2\mathrm{Re}(F_{n})=a_{n} \\ &\mathrm{j}(F_n-F_{-n})=2\mathrm{j}\mathrm{Im}(F_n)=b_n \end{aligned}\]

三种求Fn的方式

定义 -- 积分
奇偶性 -- 间接计算an bn
利用 FS $F_n=\frac{1}{T} F_0(\mathrm{j}\omega)\mid_{\omega=n\omega_o}$

就是求基波w的FS再/T

FS特性与典型信号¶

考前背一背思密达

1. 周期偶函数¶

不包含正弦分量，即bn=0

$f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}a_n\cos n\omega_0t$

三角表达式：$a_n=\frac4T\int_0^{\frac T2}f(t)\cos n\omega_0tdt\quad b_n=0.偶倍奇零$
指数表达式：$f(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}F_ne^{jn\omega_0t} \quad F_n=F_{-n}=\frac{a_n-jb_n}{2}=\frac{a_n}2$

周期三角波

推导过程

结果：$f(t)=\frac E2-\frac{4E}{\pi^2}\Bigg(\cos\omega_0t+\frac1{3^2}\cos3\omega_0t+\frac1{5^2}\cos5\omega_0t+\cdots\Bigg)$

以$\frac{1}{n^2}$的速度收敛

2. 周期奇函数¶

只包含正弦分量

$f(t)=\sum_{n=1}^{+\infty}b_n\sin n\omega_0t$

三角表达式：$b_n=\frac4T\int_0^{\frac T2}f(t)\sin n\omega_0tdt$
指数表达式：$f(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}F_ne^{jn\omega_0t} \quad F_n=F_{-n}=\frac{a_n-jb_n}{2}=-j\frac{b_n}2$

周期锯齿波

推导过程

结果：$f(t)=\frac{2E}{\pi}\Bigg(\sin\omega_0t-\frac{1}{2}\sin2\omega_0t+\frac{1}{3}\sin3\omega_0t+\cdots\Bigg)$

以$\frac{1}{n^2}$的速度收敛

3. 奇谐函数¶

信号波形沿时间轴向左或向右平移半个周期，并作上下翻转后得出的波形与原波形重合

只包含奇次项谐波分量

有：

\[\begin{aligned}&a_{n}=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{T}}^{\frac{T}{T}}f(t)\cos(n\omega_{0}t)\mathrm{d}t=\begin{cases}\frac{4}{T}\int_{0}^{\frac{T}{T}}f(t)\cos(n\omega_{0}t)\mathrm{d}t&n\text{ 为奇数}\\\\0&n\text{ 为偶数}\end{cases}\\&b_{n}=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{T}}^{\frac{T}{T}}f(t)\sin(n\omega_{0}t)\mathrm{d}t=\begin{cases}\frac{4}{T}\int_{0}^{\frac{T}{T}}f(t)\sin(n\omega_{0}t)\mathrm{d}t,&n\text{ 为奇数}\\\\0,&n\text{ 为偶数}\end{cases}\end{aligned}\]

4. 偶谐函数¶

信号波形沿时间轴向左或向右平移半个周期后得到的波形与原波形重合
只含有直流分量和偶次项谐波分量
偶谐函数和偶函数没有必然联系,下图为证

5. 周期矩形脉冲信号¶

概念：脉冲宽度τ、脉冲幅度 E、信号周期 T
τ 改变幅度和带宽，T 改变幅度和谱线间隔
各谱线的幅度按包络线$Sa\Bigg(\frac{\omega\tau}2\Bigg)$变化。过零点为$\omega=\frac{2m\pi}\tau $
带宽（一个频率点）为$B_\omega=\frac{2\pi}\tau $，主频带位于带宽之内
谱线间隔为基波频率ω(0)，脉冲周期T越大，谱线越密

三角形式：$f(t)=\frac{E\tau}T+\frac{2E\tau}T\sum_{n=1}^{+\infty}Sa\biggl(\frac{n\omega_0\tau}2\biggr)\mathrm{cos}\bigl(n\omega_0t\bigr)$
指数形式：$Fn =\frac{2E}{T}\frac{\sin\biggl(\frac{n\omega_0\tau}{2}\biggr)}{n\omega_0}=\frac{E\tau}{T}\frac{\sin\biggl(\frac{n\omega_0\tau}{2}\biggr)}{\frac{n\omega_0\tau}{2}}\quad f(t) =\frac{E\tau}T\sum_{n=-\infty}^{+\infty}Sa\Bigg(\frac{n\omega_0\tau}2\Bigg)e^{jn\omega_0t}$

相位谱在时域上就是滞后，故只能为负

$偶函数的方波为奇谐函数，故只有奇数项：f(t)=\frac{2E}\pi\Bigg(\cos\omega_0t-\frac13\cos3\omega_0t+\frac15\cos5\omega_0t-....\Bigg)$

6. 周期半波余弦信号¶

$\begin{aligned} &f(t)=\frac{E}{\pi}-\frac{2E}{\pi}\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^{2}-1}\cos\biggl(\frac{n\pi}{2}\biggr)\mathrm{cos}(n\omega_{0}t) \\ &=\frac{E}{\pi}+\frac{E}{2}\Big(\:\cos(\omega_{0}t)+\frac{4}{3\pi}\mathrm{cos}(2\omega_{0}t)-\frac{4}{15\pi}\mathrm{cos}(4\omega_{0}t)+...\Big) \end{aligned}$

以$\frac{1}{n^2}$的速度收敛

7. 周期全波余弦信号¶

$f(t)=\frac{2E}{\pi}+\frac{4E}{\pi}\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{4n^2-1}\mathrm{cos}(2n\omega_0t)$

即得

\[\begin{aligned} f(t)=& \frac{2E}{\pi}+\frac{4E}{\pi}\left(\frac{1}{3}\mathrm{cos}(\omega_1t)-\frac{1}{15}\mathrm{cos}(2\omega_1t)+\frac{1}{35}\mathrm{cos}(3\omega_1t)-...\right) \\ \text{=}& \frac{2E}\pi+\frac{4E}\pi\left(\frac13\mathrm{cos}(2\omega_0t)-\frac1{15}\mathrm{cos}(4\omega_0t)+\frac1{35}\mathrm{cos}(6\omega_0t)-...\right) \\ w_{1}=& 2w_{0} \end{aligned}\]

以$\frac{1}{n^2}$的速度收敛

小结

连续非周期 FT、逆变换与其性质¶

FT将时域转化到频域： $F(\text{j}\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t$(1)

注意，是乘一个衰减

反之，有：$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\mathrm{j}\omega)\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}\omega$

注意

F(jw)是密度函数，联想概率论
定义域无穷
复指数形式：$\begin{gathered} F(\mathrm{j}\omega)=\mid F(\mathrm{j}\omega)\mid\mathrm{e}^{\mathrm{j}\varphi(\omega)} \\ f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\mathrm{j}\omega)\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}\omega=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}|F(\mathrm{j}\omega)|\mathrm{e}^{\mathrm{j}(\omega t+\varphi(\omega))}\mathrm{d}\omega \end{gathered}$
需满足狄利克雷条件

典型信号¶

1. 单边指数信号¶

2. 双边指数信号¶

就是(1/a+jw)*(1/a-jw)

3. 对称矩形脉冲信号¶

矩形波的幅度谱和相位谱有异曲同工之妙

4. 符号函数¶

5. 冲激信号¶

冲激信号在频率内强度均匀

6. 阶跃信号¶

性质¶

变换对

\[\begin{aligned}&F(\mathrm{j}\omega)=\mathrm{FT}\{f(t)\}\\&f(t)\stackrel{\mathrm{FT}}{\longleftrightarrow}F(\mathrm{j}\omega)\end{aligned}\]

特殊的，若时域/频域=0，有：$F(\mathrm{j}0)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\mathrm{d}t\\f(0)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\mathrm{j}\omega)\mathrm{d}\omega$

不需要乘三角分量

对偶性¶

类似于嵌套，可用于反向快速求解

\[ F(\mathrm{j}t)\overset{\mathrm{FT}}{\longleftrightarrow}2\pi f(-\omega) \]

即找出逆向 FT，加上-号，外面 *2π 即可，看例题

线性¶

用于求组合搭积木型信号的 FT，拆分成几个简单信号再叠加

\[ \mathrm{FT}\left\{\sum_{i=1}^{n}a_{i}f_{i}(t)\right\}=\sum_{i=1}^{n}a_{i}F_{i}(\mathrm{j}\omega) \]

奇偶虚实性¶

*为共轭

实部的逆向傅里叶为偶函数

尺度变换性（伸缩）¶

\[ \mathrm{FT}\{f(at)\}=\frac{1}{\mid a\mid}F\biggl(\mathrm{j}\frac{\omega}{a}\biggr) \]

时移和频移特性¶

时移-t = 频 *e
时*e = 频移

\[ \mathrm{FT}\left\{f(t-t_0)\right\}=F(\mathrm{j}\omega)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t_0} \]

\[ FT\left\{f(t)e^{j\omega_0t}\right\}=F\left(j(\omega-\omega_0)\right) \]

其实就是移动相位

小技巧

调幅操作，使变换谱分别左右移动

$\mathrm{FT}\langle f(t)\cos(\omega_0t)\rangle=\frac{1}{2\pi}\cdotp\pi[F(\mathrm{j}(\omega+\omega_0))+F(\mathrm{j}(\omega-\omega_0))]$

$\mathrm{FT}\langle f(t)\sin(\omega_0t)\rangle=\frac{1}{2\pi}\cdotp\mathrm{j}\pi[F(\mathrm{j}(\omega+\omega_0))-F(\mathrm{j}(\omega-\omega_0))]$

微积分特性¶

类比电磁场的时谐场的复矢量表示
用于导导导出冲激信号，再卷积,但是一般都能用画图解决

脉冲三角波

帕斯瓦尔定理¶

$\int_{-\infty}^{+\infty}\mid f(t)\mid^2\mathrm{d}t=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\mid F(\mathrm{j}\omega)\mid^2\mathrm{d}\omega$(1)

左边为 W -- 总能量；右边为能量谱

连续周期信号的 FT¶

三角信号¶

一般信号¶

卷积定理¶

$\mathrm{FT}\{f_1(t) * f_2(t)\}=F_1(\mathrm{j}\omega)\bullet F_2(\mathrm{j}\omega)$

$Y(\mathrm{j}\omega)=X(\mathrm{j}\omega)H(\mathrm{j}\omega)$

其中，单位冲激响应h(t)

$H(\text{j}\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}h\left(t\right)\mathrm{e}^{-\text{j}\omega t}\mathrm{d}t$

$FT\left\{f_1(t)\cdot f_2(t)\right\}=\frac1{2\pi}F_1(j\omega)*F_2(j\omega)$

LTI 频响与理想滤波器¶

概念

频响函数的两种定义：

基于单位冲激响应的定义

基于频响函数的定义

\[ \begin{aligned}H(j\omega)&=\frac{Y(j\omega)}{X(j\omega)}\\&=|H(j\omega)|e^{j\varphi(\omega)}\end{aligned} \]

求解方法¶

直接开干微分方程

理想滤波器¶

理想低通滤波器¶

可实现型判断

连续 LTI 系统的频域求解¶

非常流程化

LTI系统改变幅频和相频（延迟）--类比模电的频响函数

有意思的现象

冲激序列的FT仍然是冲激序列
这说明采样后的信号【卷积后】必然是周期的

由此，引入了混叠与奈奎斯特采样定理

FS/FT¶

结论先行，便于查阅¶

对周期函数的傅里叶级数表示--FS¶

前提： 德里克里条件¶

傅里叶级数的三角表达式¶

傅里叶级数的指数形式¶

两种形式的系数 关联¶

FS特性与典型信号¶

1. 周期偶函数¶

2. 周期奇函数¶

3. 奇谐函数¶

4. 偶谐函数¶

5. 周期矩形脉冲信号¶

6. 周期半波余弦信号¶

7. 周期全波余弦信号¶

连续非周期 FT、逆变换与其性质¶

典型信号¶

1. 单边指数信号¶

2. 双边指数信号¶

3. 对称矩形脉冲信号¶

4. 符号函数¶

5. 冲激信号¶

6. 阶跃信号¶

性质¶

对偶性¶

线性¶

奇偶虚实性¶

尺度变换性（伸缩）¶

时移和频移特性¶

微积分特性¶

帕斯瓦尔定理¶

连续周期信号的 FT¶

三角信号¶

一般信号¶

卷积定理¶

LTI 频响与理想滤波器¶

求解方法¶

理想滤波器¶

理想低通滤波器¶

连续 LTI 系统的频域求解¶

电路下的求解¶

前提：德里克里条件¶

两种形式的系数关联¶