抽样、调制与解调
抽样定理
重新认识抽样函数
\[\mathrm{Sa}(t)=\frac{\mathrm{sin}t}{t}\]
时域抽样定理
推导过程
- 理想抽样信号 = 输入信号·周期序列冲激信号，即
- \(x_s(t)=x(t)p(t)\)
- 其中
- \(p(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(t-nT_s)\)
- 对于理想 P(jw) 有
- \(P(\mathrm{j}\omega)\:=\:\frac{2\pi}{T_s}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\delta(\omega-n\omega_s)\)
- 利用卷积的性质，则有
- \(x_{s}(t)=x(t)\bullet\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(t-nT_{s})=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x(nT_{s})\delta(t-nT_{s})\)
- 另外，在 FT 变换域中表现为卷积，即
- \(X_s(\text{j}\omega)=\frac{1}{2\pi}X(\text{j}\omega)*P(\text{j}\omega)\)
- 得
- \(X_{s}(j\omega)=\frac{1}{T_{s}}\sum_{n=-\infty}^{\infty}X(j(\omega-n\omega_{s}))\)
- 由于信号 x(t) 只占一定的频率范围，可写为
- \(\begin{aligned}
X_{\mathrm{s}}\left(\mathrm{j}\omega\right)& =\frac{1}{2\pi}X(\mathrm{j}\omega)*P(\mathrm{j}\omega)=\frac{1}{T_{s}}X(\mathrm{j}\omega)*\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(\omega-n\omega_{s}) \\
&=\frac{1}{T_{s}}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}X\left(\mathrm{j}(\omega-n\omega_{s})\right)\left[u\left(\omega-n\omega_{s}+\omega_{\mathrm{m}}\right)-u\left(\omega-n\omega_{s}-\omega_{\mathrm{m}}\right)\right]
\end{aligned}\)
其中，最低抽样频率为\(f_s=\frac{\omega_s}{2\pi}=\frac{\omega_\mathrm{m}}{\pi}=2f_\mathrm{m}\)，\(f_m\)为信号最高频率
最低抽样频率 \(f_s\) 为奈奎斯特频率，\(T_s\) 为奈奎斯特间隔
例题
注意：
1. 观察频域的变化
2. 拉伸可理解为频率下降，故奈奎斯特频率下降
3. 卷积意味着延展
实际上的抽样
非理想抽样信号 = 输入信号 · 周期序列矩形信号
\[X_s(j\omega)=\frac{E\tau}{T_s}\sum_{n=-\infty}^\infty Sa\Bigg(\frac{n\omega_s\tau}{2}\Bigg)X(j(\omega-n\omega_s))\]
相较于理想情况多了个抽样函数，即 Sa(t)
时域抽样恢复
即过一个低通滤波器后做IFT
推导过程
- 低通滤波器与其变换为
- \(H(\text{j}\omega)\:=\:\begin{cases}T_s\:,\quad|\:\omega\:|<\omega_\mathrm{c}\\\\\:0\:,\quad|\:\omega\:|>\omega_\mathrm{c}\end{cases}\)
\(h(t)=\text{IFT}\{H(\text{j}\omega)\}=\frac{\omega_\text{c}T_s}{\pi}\text{Sa}(\omega_\text{c}t)\)
变换过程查表即可
- 滤出原信号主周期
- \(X_{\mathrm{o}}(\mathrm{j}\omega)\:=\:H(\mathrm{j}\omega)X_{\mathrm{s}}(\mathrm{j}\omega)\:=\:X(\mathrm{j}\omega)\)
再由卷积定理，有
\[\begin{aligned}
x(t)& =h(t)*x_{s}(t)=\frac{\omega_{\mathrm{c}}T_{s}}{\pi}\mathrm{Sa}(\omega_{\mathrm{c}}t)*\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x(nT_{s})\delta(t-nT_{s}) \\
&=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\frac{\omega_{\mathrm{c}}\:T_{s}}{\pi}x\left(nT_{s}\right)\mathrm{Sa}\left(\omega_{\mathrm{c}}(t-nT_{s})\right)
\end{aligned}\]
此即内插公式，用于恢复信号
- 当 \(\omega_\mathrm{s}=2\omega_\mathrm{m},\omega_\mathrm{c}=\omega_\mathrm{m}\) 时
-
\(x(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x(nT_s)\text{Sa}(\omega_\text{c}(t-nT_s))=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x(nT_s)\text{Sa}(\omega_\text{c}t-n\pi)\)
频域抽样定理
类似的，希望从X（jw）中抽样，并能唯一的恢复
根据对称性，可得频域下的内插公式
\[X(j\omega)=\sum_{n=-\infty}^\infty\widetilde{X}(jn\omega_s)Sa((\omega-n\omega_s)t_m)\]
内插公式
零阶抽样保持
阶跃 阶梯状
其中，抽样信号为
\[
x_s(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x(nT_s)\delta(t-nT_s)
\]
抽样信号频谱为
\[
X_s(\mathrm{j}\omega)\:=\:\frac{\omega_s}{2\pi}\sum_{s=-\infty}^{+\infty}X(\mathrm{j}\omega-\mathrm{j}n\omega_s)
\]
过理想低通滤波器（矩形脉冲信号）
\[
\begin{aligned}&h_{0}(t)\:=\:u(t)-u(t-T_{s})\\&H_{0}(\mathrm{j}\omega)\:=\:\frac{1}{\mathrm{j}\omega}(\:1-\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega T_{s}}\:)\:=\:T_{s}\mathrm{Sa}\biggl(\frac{\omega T_{s}}{2}\biggr)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\frac{\omega T_{s}}{2}}\end{aligned}
\]
得到输出
\[
x_0(t)=x_s(t)*h_0(t)=\sum_{-\infty}^{+\infty}x(nT_s)\left[u(t-nT_s)-u(t-(n+1)T_s)\right]
\]
但精度较差
进一步，得到输出信号的频谱
\[
X_0(\mathrm{j}\omega)=X_s(\mathrm{j}\omega)H_0(\mathrm{j}\omega)=\mathrm{Sa}\biggl(\frac{\omega T_s}{2}\biggr)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\frac{\omega T_s}{2}}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}X(\mathrm{j}\omega-\mathrm{j}n\omega_s)
\]
优化框图，再经过一个具有频率响应 H(jw) 的 LTI 系统，要求该 LTI 系统的输出 y (t) 与原始信号 x(t) 相同
最后得到
\[
H_{0r}(\mathrm{j}\omega)=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{j}\frac{\omega T_{s}}{2}}}{\mathrm{Sa}\left(\frac{\omega T_{s}}{2}\right)}H_{\mathrm{LPF}}(\mathrm{j}\omega)
\]
一阶保持 线性内插
即通过三角波的叠加恢复信号
相关函数有
\[\begin{aligned}&h_{1}\left(t\right)=\left(1-\frac{\mid t\mid}{T_{s}}\right)[\:u(t+T_{s})-u(t-T_{s})\:]\\&H_{1}\left(\mathrm{j}\omega\right)=\:T_{s}\:\mathrm{Sa}^{2}\left(\frac{\omega T_{s}}{2}\right)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}
x_{1}(t)& =x_s(t)*h_1(t) \\
&=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x(nT_s)\left(1-\frac{\mid t-nT_s\mid}{T_s}\right)[u(t-(n-1)T_s)-u(t-(n+1)T_s)] \\
&X_1(\mathrm{j}\omega)=H_1(\mathrm{j}\omega)X_s(\mathrm{j}\omega)=\mathrm{Sa}^2\left(\frac{\omega T_s}{2}\right)\sum_{n=-\infty}^{+\infty}X\left(\mathrm{j}\omega-\mathrm{j}n\omega_s\right)
\end{aligned}\]
模拟调制
一些常识
-
- 调制即搬移低频信号频谱到高频载波信号上，包括调频（FM） 调幅（AM）和调相
- => 需要传送的 调制基带信号 g(t) ，去调整高频（受天线长度限制）的 载波信号 c(t)，形成 窄带信号 s(t)
- AM： 25 - 1605k HZ
- FM： 88M - 108M HZ
- 调幅分为 AM SC-AM（抑制载波调幅） PAM（脉冲调幅）
正弦信号下的 AM
输出调幅信号 = 基带信号 · 载波信号
\[
s(t)=g(t)\bullet c(t)
\]
载波信号 c(t)
\[
c(t)=\cos(\omega_ct+\theta_c)
\]
\(\omega_c\)称为 载波频率
初相下的频谱 C(jw)
\[
C(j\omega)=\pi\Big[\delta(\omega+\omega_{c})+\delta(\omega-\omega_{c})\Big]
\]
得窄波信号 S(jw)
\[
\begin{gathered}
S(j\omega) =\frac1{2\pi}G(j\omega)*\pi\Big[\delta(\omega+\omega_c)+\delta(\omega-\omega_c)\Big] \\
=\frac12\Big[G\Big(j(\omega+\omega_c)\Big)+G\Big(j(\omega-\omega_c)\Big)\Big]
\end{gathered}
\]
例题
直接写出三角脉冲信号FT ，结合冲激信号卷积性质可得
SC-AM（抑制载波）
将不含直流分量的基带信号放在载波信号上
得到的窄波信号相同
\[
\begin{gathered}
S(j\omega) =\frac1{2\pi}G(j\omega)*\pi\Big[\delta(\omega+\omega_c)+\delta(\omega-\omega_c)\Big] \\
=\frac12\Big[G\Big(j(\omega+\omega_c)\Big)+G\Big(j(\omega-\omega_c)\Big)\Big]
\end{gathered}
\]
给个图理解一下
注意，阴影部分为上边带，另一块为下边带
除了迁移频带，还观察到峰值减半
AM
与 SC-AM 不同的是，基带信号 g(t) 中 包含 直流信号，即有一个向上的抬升，使得包络线更清晰
一样的，有
\[
s(t)=g(t)\bullet c(t)
\]
但基带信号中的直流分量 必须使包络线 >0 ，即
\[
g(t)=A_{0}+x\:(t)
\]
\[
A_0\geqslant\mid x(t)\mid_{\max}
\]
所以 s(t) 可改写为
\[
s(t)=A_0\cos(\omega_\mathrm{c}t)+x(t)\cos(\omega_\mathrm{c}t)
\]
下图为满足（左）与不满足（右）的情况
PAM--脉冲幅度调制
即 将载波 c(t) 改为周期矩形脉冲信号
由此前知识，我们知道了周期矩形脉冲信号的 FT
\[
C(\text{j}\omega)\:=\:\frac{2\pi}{T_0}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}E\tau\text{Sa}\Bigg(\frac{n\omega_0\tau}{2}\Bigg)\delta\left(\omega-n\omega_0\right)
\]
得到调制信号即为此前所求的 非理想抽样信号，即
\[
S_s(j\omega)=\frac{E\tau}{T_s}\sum_{n=-\infty}^\infty Sa\Bigg(\frac{n\omega_s\tau}{2}\Bigg)G(j(\omega-n\omega_s))
\]
与正弦信号相比，矩形信号可以搬移无数多次
解调
同步解调
同步，即接收端 c(t) 与发射端同步,同频同向
H(jw)是幅度为 2 ，截止频率为w(M)低通滤波器
且需要满足\(\omega_{\mathrm{c}}\geqslant\omega_{\mathrm{m}}\) && \(\omega_{\mathrm{m}}<\omega_{\mathrm{M}}<2\omega_{\mathrm{c}}-\omega_{\mathrm{m}}\)
通过载波的频率迁移后，再用低通滤波取主周期
物理上可实现的低通滤波器
多说无益，上例题
正弦信号下的同步解调
若带宽有限，则可用信号 s(t)再次调制相同的正弦载波
然后再通过一个具有合适截止频率的 理想低通滤波器 就可以了
\[
s_0(t)=\frac{1}{2}g(t)\cos(2\omega_\text{c}t)+\frac{1}{2}g(t)
\]
一样的，看图说话
SC-AM
一毛一样
\[
\begin{aligned}s_{0}(t)&=s(t)\bullet c(t)=[g(t)\bullet c(t)]\bullet c(t)=g(t)\bullet c^2(t)\\&=g(t)\bullet\frac{1+\cos(2\omega_\mathrm{c}t)}2=\frac12g(t)+\frac12g(t)\bullet\cos(2\omega_\mathrm{c}t)\end{aligned}
\]
AM
需要多一个隔直电路来过滤直流分量
\[
\begin{aligned}
s_{0}\left(t\right)& =s(t)\bullet c(t)=[\:g(t)\bullet c(t)\:]\bullet c(t)=[\:A_{0}+x(t)\:]\bullet c^{2}(t) \\
&=\:[\:A_0+x(t)\:]\cdot\frac{1+\cos(2\omega_\text{c}t)}{2} \\
&=\frac{1}{2}\left[A_{0}+x(t)\right]+\frac{1}{2}\left[A_{0}+x(t)\right]\bullet\cos(2\omega_{\mathrm{c}}t)
\end{aligned}
\]
非同步解调
可以由二极管、电阻、电容来构成包络检波器，通过对包络的分析完成解调
成本低，但需要 AM 给一个\(A_0\)直流来规避失真，对发射机功率有一定需求
对 PAM 的解调
了解一下
频分复用和时分复用
类比计网的信道多路复用
频分复用
通过不同频率的载波信号搬移到不同的频段上
具体来说
解调下分别选取即可
频谱和解调信号如下
\[
\mathrm{FT}\{s_\mathrm{a}(t)\bullet\cos(\omega_\mathrm{a}t)\}=\frac{1}{2}G_\mathrm{a}(\mathrm{j}\omega)+\frac{1}{4}[G_\mathrm{a}(\mathrm{j}\omega+2\mathrm{j}\omega_\mathrm{a})+G_\mathrm{a}(\mathrm{j}\omega-2\mathrm{j}\omega_\mathrm{a})\:]
\]
\[
\begin{aligned}s_{\mathrm{a}}(t)\bullet\cos(\omega_{\mathrm{a}}t)&=\:[\:g_{\mathrm{a}}(t)\cos(\omega_{\mathrm{a}}t)\:]\bullet\cos(\omega_{\mathrm{a}}t)\:=\:g_{\mathrm{a}}(t)\:\bullet\:\cos^{2}(\omega_{\mathrm{a}}t)\\&=\frac{1}{2}g_{\mathrm{a}}(t)+\frac{1}{2}g_{\mathrm{a}}(t)\bullet\cos(2\omega_{\mathrm{a}}t)\end{aligned}
\]
时分复用
分配指定时间段给不同信道
比较
FDM 是用频率来区分同一信道上同时传输的信号，各信号在频域上是分开的，而在时域上是混叠在一起的
TDM 是在时间上区分同一信道上传输的信号，各信号在时域上是分开的，而在频域上是混叠在一起的
