LTI 的时域分析¶
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写在前面
实际上，时域分析法因其约束和计算复杂度，在工程上并不常用，而被我们后面学习的 LT 和 ZT 变换取代
因此，本章更应注重概念与定义的理解
LTI 不存在？
- 线性系统意味着系统满足齐次与叠加，即在现实下随着放大因子变大而无损耗、无边际，而不可能；同时叠加性意味着系统随输入数量增加而满足分配率，即无信息丢失，而不可能，故不存在绝对的线性系统
线性系统是对现实的近似简单估计 - 时不变系统意味着延迟的同步性，即随时间变化无磨损无丢失，而不可能
无法研究不可控的时间，故选择简单的时不变系统，并最大近似
如果将输入信号用一组基本信号的线性组合来表示
那么输出信号就是将这些 基本信号的响应加权叠加 后的信号
一些概念¶
| 概念 | 解释 |
|---|---|
| 响应区间 | \(0^+ >> \infty\) |
| 起始状态 | \(0^-\) |
| 初始条件 | \(0^+\) 用于决定齐次解的系数 |
| 齐次解\(y_n\) | 数学角度；方程右边为0的解 |
| 特解\(y_p\) | 数学角度；在通解的基础上，通过给定特定的初始条件或边界条件来确定出唯一解 |
| 通解 | 数学角度；包含所有可能解的一个最一般的形式；\(y_n + y_p\) |
| 零输入响应\(y_{zi}\) | 包含所有可能解的一个最一般的形式；\(y_n + y_p\) |
| 零状态响应\(y_{zs}\) | 信号角度；仅由激励决定的方程的解；一部分通解 + 特解 |
| 完全响应 | \(y_{zi}+y_{zs}\) |
| 强迫响应\(y_F\) | 与输入激励同一特征根的响应 |
| 自由响应\(y_f\) | \(完全响应 -y_F\) |
| 稳态响应\(y_{ss}\) | 趋于无穷时保留的分量 |
| 冲激响应\(h(t)\) | \(\delta(t)\)经过系统的作用而产生的响应 |
| 阶跃响应\(g(t)\) | \(u(t)\)经过系统的作用而产生的响应 |
各种概念的求解¶
基于 待定系数法 求解 冲击函数 零状态 0+(初始条件)
参考文档
面向冲击函数作为激励时的初始条件求解。得出结果后,右边的冲激信号就可以滚蛋啦
方法如下：
- 设 左边最高项 = 等式右边最高阶次项 例如，对下方程
令
\(\mathrm{u}_\triangle(\mathrm{t})\)为 0-到 0+ 的一小段阶跃信号
接着对 \(\frac{\mathrm{d}^3}{\mathrm{d}\mathrm{t}^3}\mathrm{y}(\mathrm{t})\) 依次积分且不考虑 \(\mathrm{u}_\triangle(t)\) 的积分结果,则有
这里暂时忽略积分出来的 y''(0-) y'(0-) y(0-)
- 代入原方程，通过待定系数解出系数
得
- 最后得到结果，就是 0- + 系数
零状态响应与零输入响应¶
通过两道例题来理解
`---
冲击响应与阶跃响应¶
积分与微分的关系
冲激响应 h(t) 求解方法¶
冲激函数匹配法
例题
看两边阶数
左边阶数若 <= 右边，则必然出现冲激信号
利用\(\delta(t)=\frac{du(t)}{dt}\quad\delta^{^{\prime}}(t)=\frac{d\delta(t)}{dt}\)解决
也可以用拉氏变换求零状态响应解决
阶跃响应 g(t) 求解方法¶
例题
方法同冲激信号求解方法，但因为右边有值，多了一个**特解**
同理，可用拉式变换求解
妙妙总结¶
记得最后加上 u(t)!!u(t)!!u(t)!!
冲激信号卷积所求为零状态响应
起始状态和初始条件求零输入
各种响应的总结
妙妙例题
离散 LTI 系统的单位样值响应¶
例题
离散下的 h[t]只考虑齐次解（求零输入响应）
高次下 用 Z 变换比较困难，建议老老实实算
叠加性 齐次性
利用 LTI 特性计算，先看成 x[n]
卷积¶
卷积，一种类似于加减乘除的定义的计算方法，是一种叠加相乘再求和的过程,也是拉氏变换域下的乘积
理解卷积：火车进隧道
卷积积分计算：
- 用几何直观计算，t在y轴处，画图（方波、三角波幅值为1则可用面积分段计算）
- 确定左右区间（左+左，右+右），带公式，利用微积分性质和冲激信号性质求解
卷积和计算：
- 写公式 + 列表法
卷积积分性质：
- 满足交换律、分配律、结合律
- $x\left(t\right)*u\left(t\right)=\int_{0}^{t}x\left(\tau\right)d\tau $
- $x\left[n\right]*u\left[n\right]=\sum_{0}^{n}x\left[k\right] $
- 微分性质：\(\begin{aligned} \frac{d}{dt}[x(t)^*h(t)]& =\frac{dx(t)}{dt}*h(t) =x(t)^*\frac{dh(t)}{dt}\end{aligned}\)，积分同理
小技巧
微积分性质可用于计算，使卷积两边一个积分一个微分： \(y(t)=x(t)*h(t)=\frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t}*\int_{-\infty}^th(\lambda)\mathrm{d}\lambda=\left[\int_{-\infty}^tx(\lambda)\mathrm{d}\lambda\right]*\frac{\mathrm{d}h(t)}{\mathrm{d}t}\)
- \(\text{冲激偶函数}\delta^{\prime}\left(t\right)=\frac{d\delta\left(t\right)}{dt}\quad0^-为+\infty,0^+为-\infty. \quad \int_{-\infty}^{+\infty}x\left(t\right)\delta^{\prime}\left(t\right)dt=-x^{\prime}\left(0\right)\)
- \(左右分别平移t_0对卷积计算没有影响，即\quad x(t+t_{0})*h(t-t_{0})=x(t)*h(t)\)
卷积和性质：
LTI 系统的框图表示¶
倍乘、加法、积分（连续的）、延时（离散的）
注意要把微分转化为积分
差分方程框图¶
- 直接 I 和直接 II 型
- 注意箭头方向，← 为输入，→ 为输出
微分方程框图¶
移项，转化为积分
I 型左侧为 x，II 型右侧为 x