数字基带传输¶

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直接传输基带信号，不含调制解调

这一章重点在基带信号、码型、ISI、频带利用率、滚降系数、抗噪性能分析的概念理解，为数字调制做铺垫

重点

六种基本基带信号：单/双极性归零/非归零码、差分码（绝对码和相对码的概念，编码与译码）、多电平信号。差分编译码是易错点
基带信号功率谱密度：连续谱（一定有）+ 离散谱（不一定有）
能够画出单/双极性归零/非归零码的功率谱曲线：掌握零点带宽、离散谱位置等
几种常用的传输码型（或称为线路码）：AMI、HDB3、双相码、CMI 码、nBmB 码。重点 HDB3 码；概念：许用码组和禁用码组
误码的原因：信道噪声、码间串扰，理解产生码间串扰的原因。眼图。
无码间串扰的条件：
- 时域条件—能够结合 \(h(k T_{B})\) 的图形直观解释
- 频域条件—频域下周期延拓后主值区间表现为矩形
余弦滚降特性、奈奎斯特带宽/速率、频带利用率、滚降系数
基带传输系统抗噪声性能分析（误码率、最优判决门限）、部分响应系统、时域均值

Why is Baseband Transmission？

近距离广泛使用—数据线

也包含着 ISI、PSD、Pe

带通（含载波）可等效为基带传输系统

基带传输基本框图¶

包含以下模块：

脉冲整形与匹配滤波—发送/滤波器
同步—符号定时同步（码元同步）、载波同步
抽样判决

举个例子

数字基带信号特性¶

题外话—时域 | 频域的截断对频域 | 时域的影响

时域截断，频域主瓣展开，Sa 函数主周期越大

时域截断就相当于增加突变，引生高频分量

频域截断，过 LPF，则滤去高频分量，导致信号突变处平滑，滚降时间变长

对于数字信号即码元展宽，易引发 ISI

基本信号波形¶

归零码（Return-to-Zero,RZ）

存在占空比，可通过冲激信号确定定时分量

差分码

\[ \boxed{b_n=a_n\oplus b_{n-1}}\quad\boxed{a_n=b_n\oplus b_{n-1}} \]

一般采用根升余弦滤波器（RRC）收发各配一个，卷积后即为升余弦(RC)【Acoswt+A/2】

多电平波形

数字带宽一般用波特率表示

在此前提下，多电平所占用数字带宽不变，传码率不变下提高了传信率

码元表达式¶

随机脉冲序列表达式

\[ s(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_{n}g(t-n T_{B}) \]

\(a_n\)为电平取值（random）

一般表达式（二进制下）¶

\[ s(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}s_{n}(t) \]

\[ s_n(t)=\begin{cases}g_1(t-nT_B),&\text{以概率}P\text{出现}\\g_2(t-nT_B),&\text{以}(1-P)\text{出现}&\end{cases} \]

基带信号的 PSD¶

稳态波为统计平均分量，呈周期性

\[ \nu(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\{P g_{1}(t-n T_{B})+(1-P)g_{2}(t-n T_{B})\}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\nu_{n}(t) \]

交变波为随机表达式

\[ u_{n}(t)=s_{n}(t)-\nu_{n}(t) \]

\[ u_n(t)=a_n[g_1(t-nT_B)-g_2(t-nT_B)]\quad a_n=\begin{cases}\mathbf{1}-P,&\text{以概率}P\\-P,&\text{以概率}(\mathbf{1}-P)&\end{cases} \]

随机脉冲序列为其求和，即

\[ u(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}u_{n}(t) \]

分别求解稳态波与交变波的功率谱密度

稳态波在时域周期，则在频域离散，表现为

\[ P_{\nu}\left(f\right)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\vert f_{B}[P G_{1}(m f_{B})+(1-P)G_{2}(m f_{B})]\vert^{2}\,\delta(f-m f_{B}) \]

\(\rm{m=0}\) 对应直流分量；\(\rm{m=1}\) 对应定时分量

交变波用定义去解，得连续谱

\[ \begin{array}{r l}{{P}_{u}(f)=\displaystyle\operatorname*{lim}_{N\rightarrow\infty}\frac{\left(2N+1\right)\!P(1-P)\left|G_{1}(f)-G_{2}(f)\right|^{2}}{\left(2N+1\right)\!T_{B}}}\\ {=f_{B}P(1-P)\Big|G_{1}(f)-G_{2}(f)\Big|^{2}}\end{array} \]

求和，得到基带信号 PSD

由表达式可知结论

连续谱分量确定零点带宽 B
\(f_{\mathrm{B}}={\frac{1}{T_{\mathrm{B}}}}=R_{\mathrm{B}}\)
由式子决定，这一分量不可能消失（信息一定是不确定非周期的）
离散谱可在奇数分量确定定时分量（码元速率）
是周期分量，故可能会消失（等概反向，即双极性占空比 \(50\%\) ）

基带信号 PSD 小结

从带宽看是否是归零码
从极性看有无离散谱
单极性非归零码才有定时分量（奇数谐波）因为“RZ 编码频繁的电平变化产生显著的定时分量” 🧐

常用码型¶

重点是 HDB3

原则¶

无直流分量，且低频分量、高频分量小
定时信息丰富
简单高效

AMI 码HDB3 码双相码CMI 码nBmB 码

传号双极性交替码，不常用

应用：PCM24 路基群（北美系列）1.544Mb/s 的线路码型。

3 阶高密度双极性码（High Density Bipolar of Order 3 code）

目的是解决 AMI长 0 跑飞的问题，但性质上完全不同

加入破坏脉冲 V| 调节脉冲 B，使连 0 不超过四个

规则怪谈

V 之间极性交替
V 极性与前一个非零码（包含 V）必须相同，否则用 B 调节【可用于译码时找破坏节 V，相同极性后者为破坏节】
V 与之后的正常的传号码极性交替

比如

\[ \begin{gathered} \mathrm{信码} & \mathrm{1} & \mathrm{1} & \mathrm{0} & \mathrm{0} & \mathrm{0} & \mathrm{0} & \mathrm{0} & \mathrm{1} & \mathrm{0} & \mathrm{0} & \mathrm{0} & \mathrm{0} & \mathrm{1} & \mathrm{1} \\ \mathrm{HDB3码} & \mathrm{1} & \mathrm{-1} & \mathrm{0} & \mathrm{0} & \mathrm{0} & \mathrm{-\mathbf{V}} & \mathrm{0} & \mathrm{1} & \mathrm{0} & \mathrm{0} & \mathrm{0} & \mathrm{+\mathbf{V}} & \mathrm{-1} & \mathrm{1} \end{gathered} \]

再比如

\[ \begin{gathered} \mathrm{信码} & \mathrm{1} & \mathrm{1} & \mathrm{0} & \mathrm{0} & \mathrm{0} & \mathrm{0} & \mathrm{1} & \mathrm{1} & \mathrm{0} & \mathrm{0} & \mathrm{0} & \mathrm{0} & \mathrm{1} & \mathrm{1} & \mathrm{0}\\ \mathrm{HDB3码} & \mathrm{1} & \mathrm{-1} & \mathrm{0} & \mathrm{0} & \mathrm{0} & \mathrm{-\mathbf{V}} & \mathrm{1} & \mathrm{-1} & \mathbf{+B} & \mathrm{0} & \mathrm{0} & \mathrm{+\mathbf{V}} & \mathrm{-1} & \mathrm{1}& \mathrm{0} \end{gathered} \]

差错控制的思路，给校验码

需要理解许用码组、禁用码组的概念

数字基带信号传输与码间串扰¶

产生误码的原因

噪声
信道 LPF 后频域滤去高频，时域展宽，出现码间串扰

码间串扰（ISI）¶

无码间串扰的理想信道（幅频、相频、群延迟）

可从滤波、实际信道去理解，即传输特性不理想

眼图¶

不再赘述，参见眼图的形成原理

无 ISI 的定量分析¶

数字通信下，只在意采样时刻的准确

接收滤波器输出信号

\[ y(t)=d(t)*h(t)+n_{R}(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_{n}h(t-n T_{_B})+n_{_R}(t) \]

令抽样时刻 \(t=k T_{B}+t_{0}\) ， \(t_{0}\) 为延时。此处暂保留，但不妨令 \(t_{0}=0\)

\[ y(k T_{B}+t_{0})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_{n}h(k T_{B}+t_{0}-n T_{B})+n_{R}(k T_{B}+t_{0}) \]

只关心第 k 个抽样值，则 \({\mathsf{k}}{=}{\mathsf{n}}\) ,有

\[ =a_{k}h(t_{0})+\sum_{n\neq k}a_{n}h\left[(k-n)T_{B}+t_{0}\right]+n_{R}\left(k T_{B}+t_{0}\right) \]

即希望系统

\[ h\left[(k-n)T_{B}+t_{0}\right]=0\quad k\neq n \]

消除 ISI 的时频域分析¶

通过匹配滤波实现脉冲成型

时域条件频域条件

抽样函数只在 k 倍 Tb 上，即

\[ h(k T_{\scriptscriptstyle B})=\delta(k) \]

如此可以做到，在抽样点上无码间串扰

因为无 ISI，故根据时域特点，有

\[ h(k T_{\scriptscriptstyle B})=\delta(k) \]

则其 DFT 为 1

时域采样，频域周期延拓，得传递函数表达式

\[ \frac{1}{T_{B}}\sum_{i}H\Biggl(\omega+\frac{2\pi}{T_{B}}i\Biggr) \]

故得到，当冲激函数系数为 1 时，此等式为一常数，即

\[ \sum_{i}H\bigg(\omega+\frac{2\pi}{T_{B}}i\bigg)=T_{B}\,\,,\,\,|\omega|\leq\frac{\pi}{T_{B}} \]

最后得到频域结论：

一个实际的 H(w)特性若能等效成一个理想（矩形）低通滤波器，则可实现无码间串扰

必考题

给你一个传递函数的频域波形，再给你传码间隔 \(T_{B}\)

问是否有码间串扰

根据 TB 确定 \(\omega_{0}/f_{0}\) ,与传递函数单位相关联（Ts）
将传递函数按照 \(\frac{2\pi}{T_{\mathrm{B}}}\) 步长左右延拓
取主值区间 \(\left(-{\frac{\pi}{T_{\mathrm{B}}}},{\frac{\pi}{T_{\mathrm{B}}}}\right)\) 相加，观察结果

当 \(T_{B}=T_{S}\) 满足条件，则 \(T_{B}=N T_{S}\) 也满足条件（即降传码速率更不会串扰），小数倍则不行
无 ISI 最高速率 \(R_{B}=2f_{N}\) （间隔越小越容易串）

滤波器设计¶

理想低通滤波器（奈奎斯特滤波器）¶

奈奎斯特带宽、最高波特率与频带利用率

我们知道了频域表现出理想低通的滤波器不会产生 ISI，于是自然想要进一步压缩带宽

经过上面的【必考题】，我们发现当 \(T_{B}=T_{S}\) 时已是极限，时间间隔不能再短了此时传递函数频域带宽最为极限，称为奈奎斯特带宽，即

\[ B={\frac{\frac{\pi}{T_{s}}}{2\pi}}={\frac{1}{2T_{B}}}=f_{N} \]

而无 ISI 的最高波特率—奈奎斯特速率为

\[ R_{B}={\frac{1}{T_{B}}}=2f_{N} \]

故最高频带利用率为

\[ \eta={\frac{R_{B}}{B}}=2\quad\mathrm{Baud/Hz} \]

频带利用率不会超过此值

转为比特为单位，有

\[ \eta_b=\frac{R_b}{B}=2\log_2M\quad\mathrm{bps/Hz} \]

存在问题

不可实现
摆尾过大，尾部收敛慢

余弦滚降滤波器¶

引入通带与阻带，类似 VSB

滚降系数

可以理解为以(\(f_{N}\) , 中心)为圆心，把左上角挖了一块到右下角

挖的宽度与 \(f_{N}\) 的比值称为滚降系数

\(\alpha=1\) 时为升余弦，即 1+coswt

注意，最大无 ISI 速率与滚降系数无关，只看 \(f_{N}\)

频带利用率

\[ \eta={\frac{R_{B}}{B}}={\frac{R_{B}}{f_{N}+f_{\Delta}}}={\frac{R_{B}}{(1+\alpha)f_{N}}}={\frac{2}{1+\alpha}}\;({\mathrm{Baud/Hz}}) \]

\[ \eta_{\mathrm{b}}=\frac{R_{b}}{B}=\frac{2}{1+\alpha}\log_{2}\mathrm{M}\left(\mathrm{bps/Hz}\right) \]

最终表达式

\[ H(\omega)=\begin{cases}T_B,&0\leq|\omega|<\frac{(1-\alpha)\pi}{T_B}\\\frac{T_B}{2}[1+\sin\frac{T_B}{2\alpha}(\frac{\pi}{T_B}-\omega)],&\frac{(1-\alpha)\pi}{T_B}\leq|\omega|<\frac{(1+\alpha)\pi}{T_B}\\0,&|\omega|\geq\frac{(1+\alpha)\pi}{T_B}&\end{cases} \]

时域上有

\[ h(t)=\frac{\sin\pi t/T_{B}}{\pi t/T_{B}}\cdot\frac{\cos\alpha\pi t/T_{B}}{1-4\alpha^{2}t^{2}/T_{B}^{2}} \]

不难注意到零点增加，且右项使得曲线有更快的衰减

代价：带宽增加、频带利用率降低

滚降滤波器的时域咋样的？请看 VCR

例

\(f_{N}=\frac{4}{T}\) ，则无 ISI 最高速率 \(R_{B}=2f_{N}\)

滚降=1，最高频带利用率为 1

例

有系统函数如下所示，求\(f_N\mathrm{、}R_B\mathrm{、}\eta\)

\[ f_{N}=2.5k H z,R_{B}=2f_{N}=5k H z,\eta=\frac{R_{B}}{B}=5/3 \]

题外话—能否把俩种滤波器优点 IN ONE 呢？

可采用部分响应技术来同时实现，将在后面说明

抗噪性能¶

定量分析噪声影响下抽样判决鲁棒性无 ISI 条件下，噪声引起的误码率 \(P_{e}\)频谱

在双边带下分析

二进制双极性基带系统¶

输入高斯白噪声均值和功率谱密度分别为

\[ E[n(t)]=0\ ,P_{n}(f)=\frac{n_{0}}{2} \]

高斯白噪声经过线性系统仍为高斯，有

\[ E[n_{R}(t)]=0 \]

\[ P_{R}(f)=\frac{n_{0}}{2}\Big|G_{R}(f)\Big|^{2} \]

均值为 0，故方差即为功率

\[ \sigma_{n}^{2}=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{n_{0}}{2}\left|G_{R}(f)\right|^{2}d f \]

则得到高斯白噪的概率密度函数

\[ f(\nu)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_n}\exp\left(-\frac{\nu^2}{2\sigma_n^2}\right)\text{,简记为}n_R\sim N(0,\sigma_n^2) \]

对于双极性抽样判决，这里以高电平为 1，否则为 0

\[ x(kT_\mathrm{B})=\begin{cases}A+n_R(kT_B),&1\\-A+n_R(kT_B),&0&\end{cases} \]

得到概率密度函数

再讨论误码率 \(P_{e}\) ，不难观察为全概公式，即 \(P(\text{发}0\text{判}1)+P(\text{发}1\text{判}0)\)

令门限值（判决电平）为 \(V_{d}\) ，用图像表示为

与概率论中的【上\(\alpha\)点】有些许类似

最后整理得

\[ \begin{array}{l}{{P_{e}=P(1)P(0/1)+P(0)P(1/0)}}\\ {{\displaystyle{\phantom{\int}=P(1)\int_{-\infty}^{V_{d}}f_{1}(x)d x+P(0)\int_{V_{d}}^{\infty}f_{0}(x)d x}}}\\ {{\displaystyle{\phantom{\int}=P(1)\biggl[\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\mathrm{erf}(\frac{V_{d}-A}{\sqrt{2}\sigma_{n}})\biggr]+P(0)\biggl[\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\mathrm{erf}(\frac{V_{d}+A}{\sqrt{2}\sigma_{n}})\biggr]}}}\end{array} \]

希望通过下面的解释能让你理解性的记忆这一结论

全概公式自不用多说，关键在于如何记忆/区分两个条件概率或者说，需要理解 \(e r f(x)\) 是什么东东

误差函数定义上有

\[ e r f(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}d t \]

这里就有一个【常识】了，即标准高斯变换

\[ \int_{-\infty}^{\infty}e^{-a u^{2}}d u={\sqrt{\frac{\pi}{a}}} \]

再转头看我们的 \(e r f(x)\) ,发现积分限只有一半（偶函数），系数 \({\bf a}{=}{\bf1}\) ，则

\[ e r f(x)_{M A X}=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\cdot\frac{\sqrt{\pi}}{2}=1 \]

非常 amazing 啊，看来误差函数随着输入的变大而趋向于 1

现在再回头， \(\mathrm{erf}(\frac{V_{d}-A}{\sqrt{2}\sigma_{n}})\) 就很好解释了，这一项是发 1 判 0，所以概率密度函数均值在 A

同理可解释为什么另一项是 \(\mathrm{erf}\big(\frac{V_{d}+A}{\sqrt{2}\sigma_{n}}\big)\) ，即标准化

接着我们需要解释如何记忆误判函数前面的正负

根据上面误差函数单调增的性质，再回想我们这个是误判概率哇，即越大说明越容易误判

对发 1 判 0 来说，【门限值越靠近 A（越大），越容易误判】说明 \(\mathrm{erf}(\frac{V_{d}-A}{\sqrt{2}\sigma_{n}})\) 前面的系数是正的，对吧， \(V_{d}\) 越大误差函数越大，误判概率越大，正相关
反之，得到 \(\mathrm{erf}\big(\frac{V_{d}+A}{\sqrt{2}\sigma_{n}}\big)\) 前系数为负
至于为什么是 \(\frac{1}{2}\) ,我 布吉岛

最佳判决门限—使误码率最小

误码率对门限电平求偏导(这是真记不住，考试也会给的)

\[ \boxed{V_{d}^{*}=\frac{\sigma_{n}^{2}}{2A}\ln\frac{P(0)}{P(1)}} \]

一般传输时尽可能保证 0/1 信息等概，为了保持最大信息量

此时最佳门限电平为

\[ \boxed{V_d^*=0} \]

此时误码率简化为

\[ P_{e}=\frac{1}{2}e r f c(\frac{A}{\sqrt{2}\sigma_{n}}) \]

这一表达式将在下一章再见

二进制单极性基带系统¶

与双极性相比，把其中一个分布移动到 0 即可

\[ \left.x(kT_B)=\left\{\begin{array}{ll}A+n_R(kT_B),&{1}\\0+n_R(kT_B),&{0}\end{array}\right.\right. \]

总结

部分响应与时域均衡¶

这是改善系统性能的俩种措施

部分响应¶

引入有规律的码间串扰，使之只对后一个码元产生影响（影响可控），类比循环前缀 CP

改为三电平，对干扰容忍度下降，但得到更好的判决，且提升频带利用率
减少拖尾
提升带宽利用率
噪声容忍度下降

此处只讨论第一类部分响应

将俩个 Sa 信号相距 TB 并合成，可得到因拖尾极性相反而快速衰落的尾巴

频域均衡与时域均衡¶

通过滤波器补偿以减小 ISI

工程上会传导频做信道估计(求均衡器参数 \(\mathsf{g}(\mathsf{t})\) )，从而使得 \(h(t)*g(t)=\delta(t)\)

时域上通常采用FIR而非 IIR，因为

稳定，无反馈，规避自激振荡
设计简单线性，相位处理方便

评价指标了解一下就行

例

即 \(h(t)*g(t)=\delta(t)\) ，使得只有当前采样时刻为 1，其余采样时刻为 0
以此求解抽头系数
思考矩阵如何构成

数字基带传输¶

基带传输基本框图¶

数字基带信号特性¶

基本信号波形¶

码元表达式¶

一般表达式 （二进制下）¶

基带信号的 PSD¶

常用码型¶

原则¶

数字基带信号传输与码间串扰¶

码间串扰（ISI）¶

眼图¶

无 ISI 的定量分析¶

消除 ISI 的时频域分析¶

滤波器设计¶

理想低通滤波器（奈奎斯特滤波器）¶

余弦滚降滤波器¶

抗噪性能¶

二进制双极性基带系统¶

二进制单极性基带系统¶

部分响应与时域均衡¶

部分响应¶

频域均衡与时域均衡¶

一般表达式（二进制下）¶