基本概念与运算¶
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基础概念¶
随机现象
在⼀定条件下观察，所得结果不能确定⽽为⼏种可能中的⼀个的现象
随机试验
观察【随机现象】的可重复、可观察、随机的试验
随机事件
【随机试验】的结果
基本事件（样本点）
【随机事件】中不可再分割的最小事件 | 【样本空间】的⼦集
样本空间
是所有【基本事件】对应样本点的集合
概率空间
样本空间\(\Omega\)，事件域\(F\)和概率\(P\)构成的总体\((\Omega,F,P)\) 为【随机试验 E】的【概率空间】
概率 の 定义¶
概率是一种【集合函数】
在随机试验中，当次数⾜够⼤且事件出现 频率 稳定在⼀常数 C 附近
则称 C 为这⼀事件的概率
【基本事件】是等可能的、有限的
\[
P(A)=\frac{m}{n}=\frac{A\text{ 所包含样本点的个数}}{\text{样本空间}\Omega\text{所含样本点的总数}}
\]
【基本事件】等可能而不可列
\[
P(A)=\frac{m(A)}{m(\Omega)}
\]
加⼊零测集，出现“概率为 1 ⽽不⼀定发⽣”
若定义在事件域 F 上的⼀个集合函数 P 满⾜下列三个条件：
- 非负性：\(P(A)\geq 0,\forall A\in F\)
- 规范性：\(P(\Omega)=1\)
- 可列可加性：互斥下有\(P(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i)=\sum_{i=1}^{\infty}P(A_i)\)
则称 P 为【概率函数】，或称 P 为【概率】
随机事件的关系与运算¶
- 包含、相等
- 并、交、差
- 互斥（互不相容）
- 对立（求逆）
- 交换律、结合律、分配律、摩根定理
概率的性质¶
- \(P(\emptyset)=0\mid P(\Omega)=1\)
- 有限可加
- \(P(\overline{A})=1-P(A)\)
- $ P(A-B)=P(A\overline{B})=P(A-AB)=P(A)-P(AB)$
- \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)\)
条件概率与独立¶
条件概率¶
\[
P(B\mid A)=\frac{P(AB)}{P(A)}
\]
若 A 与 B互斥，则【条件概率】为 0
乘法公式
\[
P(AB)=P(A)P(B|A)\quad(P(A)>0)
\]
马尔可夫链：\(P(A_1A_2\cdots A_n)=P(A_n/A_1\cdots A_{n-1})\cdots P(A_3/A_1A_2)P(A_2/A_1)P(A_1)\)
全概公式
\[
P(A)=\sum_{i=1}^nP(AB_i)=\sum_{i=1}^nP(B_i)\cdot P(A\mid B_i)
\]
贝叶斯公式
【后验概率】设事件 A 已发⽣，⽽事件 A 发⽣是由事件 B 的发⽣所引起的概率为
\[
P(B_k\mid A)=\frac{P(AB_k)}{P(A)}=\frac{P(B_k)P(A|B_k)}{\sum_{i=1}^nP(B_i)P(A|B_i)}
\]
独立¶
\[
P(A B)=P(A/B)P(B)=P(B/A)P(A)=P(A)P(B)
\]
相关、相容、独立三个概念
独立是⼀个更严格的条件，它不仅要求没有线性关系，还要求没有任何形式的依赖关系
⽽【不相关】只说明了没有线性依赖关系
从概率论（而非集合论）的范畴考虑
- 若相互独立，则\(\mathrm{P(AB)=P(A)P(B)\neq0,~\{P(A)\neq0,P(B)\neq0\}}\)，即\({A}\cap{B}\neq\emptyset\)，那么 A 和 B相容，不相关
- 若互不相容，则“A 发⽣ B 就不能发生”，A 与 B 相关
注意
事件域互相独立可以推出两两独立
反之不行
因为两两独立无法保证基本事件的组合也相互独立