WC04 多径传播与小尺度衰落
多径传播与小尺度衰落
通信的目的：恢复信号
区别于宏观上单纯的路径损耗，考虑微观上信道对信号的影响
同一发射信号沿两条或多条路径传播后，以微小的时间差到达接收机。这种无线电波沿着多条不同的路径的传播，称为多径传播
多径效应
描述小尺度上移动无线信道对信号的影响
- 由于各条到达接收机的传播路径不同，信号所经历的路程也就不同，这样到达接收机的不同多径信号之间存在着幅度、相位和入射角度上的差异
- 另一方面，路程不同也决定了各多径信号在到达时间上的差异。
故多径效应可分为以下三种
- 幅偏（小尺度衰落）
- 时域色散拖尾，导致ISI（多径时延）
- 频偏（多普勒频偏）
小尺度衰落
由于不同多径分量的相互干涉而引起的合成信号幅度的变化
- 在发生短距（短时）变化时，信号功率可能会有1000～10000倍的变化发生
时间弥散
名词解释可迁移频率弥散
到达时间\(\tau\)不再一致，而是各有时延，服从一定分布
当产生时间拖尾时，就会影响下一码元，导致ISI
多普勒频偏
由于运动而造成的接收信号频率偏移
当入射方向与运动方向一致时，接收频率
\[f_{re}=f_{c}+f_{d}\]
其中，
\[f_d=\frac{v}{\lambda}\cos\theta \xlongequal{同向而行}-\frac{v}{\lambda}\]
怎么记
频率不就是\(f_c=\frac{c}{\lambda_c}\)，那么得到$f_d = \frac{v}{\lambda_c}\cos\theta = f_c \cdot \frac{v}{c} \cos\theta $，即对载频打个折扣
这里的角度定义比较抽象
这表明仅考虑入射波方向上的MS运动分量
应用：通过相位差计算频偏，利用多普勒频移计算物体运动速度
例
总结
多径信道冲激响应模型
影响小尺度衰落的因素
如果周围物体高速运动，则对小尺度衰落起决定性作用；反之可略
信道模型特征
- 接收信号为多条路径之和，故可视为线性滤波器
- 是MS位置的函数，位置又是时间的函数，故是时变系统
- 带通 | [冲激响应] 具有复数特性
时延量化
有点像信源编码中均匀量化的量化电平
把时延\(\tau\)分割为相同的小段，称为附加时延段，有
\[\tau_{i}=i\Delta\tau\quad0\leq i\leq N\]
模型表示
时变多径信道的冲激响应一般写作
\[h_{b}(t,\tau)=\sum_{i=0}^{N-1}a_{i}(t)\exp\{j[2\pi f_{c}\tau_{i}(t)+\phi_{i}(t)]\}\delta[\tau-\tau_{i}(t)]\]
包含多径条数、实际幅度、频率、相位与时延的随机过程
\[\begin{aligned}&1.N：多径条数 \\&2.a_i(t):\text{ 第 }i\text{ 条路径在时刻 }t\text{ 的复幅度,含衰落信息;}\\&3.f_i(t):\text{ 第 }i\text{ 条路径在时刻 }t\text{ 的多普勒频移(有时可记为 }f_{D,i})\\&4.\phi_i(t):\text{第 }i\text{ 条路径在时刻 }t\text{ 的附加相位}(\text{可能包含散射相位等});\\&5.\tau_i(t){:}\text{ 第 }i\text{ 条路径在时刻 }t\text{ 的传播时延};\\&6.\delta(\cdot)\text{:冲激函数,表征“在时延轴上位于 }\tau_i(t)\text{ 的位置”。}\end{aligned}\]
考虑一段时间内，时不变的情况下，t为常数，则化简为
\[h_{b}(\tau)=\sum_{i=0}^{N-1}a_{i}e^{j\theta_{i}}\delta(\tau-\tau_{i})\]
如下图所示，从不同的t时刻切片，得到不同时延（信道）的接收冲激幅度
存在\(\tau_{max}\),太远的信道损耗过大，功率已被噪声淹没
信号带宽对接收功率的影响
为获得具体环境下的多径信道冲激响应模型，通常采用信道测量技术
该技术分别用脉冲测量信号（宽带） | 连续波测量信号（窄带）来模拟
宽带信号
设输入信号为
\[x(t)=\mathrm{Re}\left\{p(t)\exp(j2\pi f_ct)\right\}\]
\(p(t)\)为宽度\(T_{bb}\)很窄的周期性脉冲；\(f_c\)为载波频率
脉冲定义为
\[p(t)=2\sqrt{\tau_{\max}/T_{bb}}\quad0\leq t\leq T_{bb}\]
时域下，多径信道系统的输出为输入与频响的卷积
其中，频响函数可表示为
\[h_{b}(t,\tau)=\sum_{i=0}^{N-1}a_{i}e^{j\theta_{i}}\delta(\tau-\tau_{i})\]
- \(\begin{aligned}&a_ie^{j\theta_i}\text{ 代表第 }i\text{ 条路径的衰落幅度和相位。}\\&\delta(\tau-\tau_i)\text{ 说明每个多径分量具有固定的时延 }\tau_i.\\&\text{信道是时变的,所以 }a_i,\theta_i,\tau_i\text{ 可能随时间 }t\text{ 变化。}\end{aligned}\)
那么，输出信号可表示为
\[r(t)=\int h(t,\tau)p(t-\tau)d\tau=\frac{1}{2}\sum_{i=0}^{N-1}a_{i}e^{j\theta_{i}}p(t-\tau_{i})\]
一通小鸡炖蘑菇，可得到特定\(t_0\)时刻下的接收功率
\[\begin{aligned}&|r(t_0)|^{2}=\frac{1}{\tau_{\max}}\int_{0}^{\tau_{\max}}r(t)r^{*}(t)\mathrm{d}t\\&=\frac{1}{\tau_{\max}}\int_{0}^{\tau_{\max}}\frac{1}{4}\mathrm{Re}\left\{\sum_{j=0}^{N-1}\sum_{i=0}^{N-1}a_{j}(t_0)a_{i}(t_0)p(t_0-\tau_{j})p(t_0-\tau_{i})\exp(j(\theta_{j}-\theta_{i}))\right\}\mathrm{d}t\end{aligned}\]
不难观察，仅当i=j时，两个脉冲存在，即为矩阵对角线之和，且与\(\theta\)无关
\[\left|r(t_0)\right|^2=\sum_{i=0}^{N-1}a_i^2(t_0)\]
幅度平方求和，即可视为每一条路径的瞬时功率叠加
这说明，宽带下信号是可分离的
进一步的，假设接收功率构成一个随机过程，可用时间均值代替统计均值
\[E_{a,\theta}[P_{WB}]=E_{a,\theta}\left\lceil\sum_{i=0}^{N-1}\lvert a_i{\exp(j\theta_i)}\rvert^2\right\rceil\approx\sum_{i=0}^{N-1}\overline{a_i^2}\]
基于各态历经性取得近似
窄带信号
将冲激信号转为连续波
则此时的瞬时接收功率为
\[\left|r(t)\right|^2=\left|\sum_{i=0}^{N-1}a_i\exp(j\theta_i(t,\tau))\right|^2\]
注意，此时与\(\theta\)有关，存在起伏
平均接收功率为
\[E_{a,\theta}[P_{\mathrm{CW}}]=E_{a,\theta}\left[\left|\sum_{i=0}^{N-1}a_{i}\exp(j\theta_{i})\right|^{2}\right]\approx\sum_{i=0}^{N-1}\overline{a_{i}^{2}}+2\sum_{i=0}^{N-1}\sum_{j=0,j\neq i}^{N}r_{ij}\overline{\cos(\theta_{i}-\theta_{j})}\]
若满足以下两个条件
- 多径分量的相位分布在[0,2π]之间
- 不同路径分量的幅度不相关
则余弦项为零
这不巧了，大多数环境都满足上述条件
所以，窄带信号的平均接收功率与宽带一致
结论
- 宽|窄带平均总功率一致
- 若传输带宽远大于信道带宽，则路径可分离
- 窄带不可分离，则视为一径，包络相位满足一定分布
- 窄带下瞬时功率起伏明显，引起小尺度衰落
移动多径参数与小尺度衰落类型
在移动无线信道中，同时存在多径效应与多普勒效应，分别造成信号的时延与频率弥散，分别产生频率选择与时间选择，需要指标来描述它们的程度，从而将小尺度无线信道从时间和频率两个维度划分
多径时延的统计描述
功率延迟分布
功率延迟分布\(P(\tau)\)是随着固定参考时延的附加时延\(\tau\)变化的瞬时接收功率的平均值
固定时延参考是最先到达信道的时延
为获得\(P(\tau)\)，需要多次检测脉冲到来的时刻，且满足以下条件：
\[\begin{aligned}&\text{采样的空间距离小于1/4}\lambda;\\&\text{对室外情况,接收机的移动距离小于6m}\\&\text{对室内情况,接收机的移动距离小于2m}\end{aligned}\]
总体呈现下降趋势，但功率不满足严格递减
\(P(\tau)\)函数服从分布不一，连续下可表示为指数衰减
\[P(\tau)=\lambda \cdot e^{-\lambda x} =\frac{1}{\bar\tau}\exp\left(-\frac{\tau}{\bar\tau}\right),0<\tau<\infty\]
\(\bar\tau\)为附加时延均值
题外话 | 时间色散参数
- 平均附加时延
- 均方值时延扩展
- 最大附加时延$X dB $
平均附加时延
即均值归一化,是功率延迟分布的一阶原点矩
\[\overline{\tau}=\frac{\sum_ka_k^2\tau_k}{\sum_ka_k^2}=\frac{\sum_kP(\tau_k)\tau_k}{\sum_kP(\tau_k)}\]
连续下为积分
\[\overline{\tau}=\frac{\int P(\tau)\tau d\tau}{\int P(\tau) d\tau}\]
RMS时延扩展
标准差，二阶中心距平方根
用于计算相关带宽
\[\sigma_\tau=\sqrt{\overline{\tau^2}-\overline{\tau}^2}\]
其中
\[\overline{\tau^2}=\frac{\sum_ka_k^2\tau_k^2}{\sum_ka_k^2}=\frac{\sum_kP(\tau_k)\tau_k^2}{\sum_kP(\tau_k)}\]
典型值
最大附加时延
从初值衰落到最后一个峰值高于（注意，不是≥）-XdB的时间间隔
\[\tau_{max}=\tau_x-\tau_0\]
前面的值都已归一化，故最大值为0dB，且实际功率和为1（而非dB）
类似与蜂窝通信过区切换中需要考虑的门限
注意，功率延迟分布\(P(\tau)\)往往是相对信号功率，所以不能直接使用dB值计算，而是要转化成线性值
不懂？看看下面的例子叭~
例
- 计算功率延迟分布的RMS时延扩展
- 如果使用BPSK调制，则不适用均衡器下，通过此信道的最大\(R_b\)
容易得到
\[P(0)=P(1)=1\]
所以
\[\overline{\tau}=\frac{\sum_kP(\tau_k)\tau_k}{\sum_kP(\tau_k)}=\frac{P(0)\cdot 0+ P(1)\cdot 1}{P(0)+P(1)} = 0.5 \mu s\]
均方值为
\[\overline{\tau^2}=\frac{\sum_kP(\tau_k)\tau_k^2}{\sum_kP(\tau_k)}=0.5 \mu s\]
故可得到均方根为
\[\sigma_\tau=\sqrt{\overline{\tau^2}-\overline{\tau}^2}=0.5 \mu s\]
不使用均衡器，说明信道带宽（相关带宽，后面会提）需要大于传输带宽
当\(\rho=0.5\)时
\[B_{c}\approx\frac{1}{5\sigma_{\tau}}=400 kHz\]
若给P为连续也要会算喔
接收信号间的幅度相关系数
\[\rho(\Delta f,\Delta t,\Delta z=0)=\frac{J_{0}(2\pi f_{m}\Delta t)}{1+\left(2\pi\Delta f\right)^{2}\sigma_{\tau}^{2}}\]
相关带宽
\(B_c\)幅度相关性较强的频率范围
当\(\rho=0.5\)时
\[B_{c}\approx\frac{1}{5\sigma_{\tau}}\]
总结
标准差越小，（可类比为）信道带宽越大，无ISI传输速率越大
反之，选择性越强，
通信原理回旋镖：频率选择性衰落 - dixi's BLOG
小尺度衰落分类
基于多径时延指标，可分为平坦衰落（Flat Fading）和频率选择性衰落（Frequency-selective Fading）
平坦衰落
经历相似的衰落（各个频率分量），波形保持，但有时会出现深度衰落
最常见的，是高斯白噪[+信号]经过窄带系统后的包络服从瑞利分布[莱斯分布]
频率选择性衰落
当冲激响应时延（宽度）大于信号时，信号部分频段（特别是高频）被滤波以致于失真，进一步造成时域的码元延拓，最终导致ISI
需要均衡时域|频域均衡 - dixi's BLOG
例
将dB转化为比值
\[0dB=1,-10dB=0.1,-20dB=0.01\]
平均附加时延为
\[\overline{\tau}=\frac{1\times5+0.1\times1+0.1\times2+0.01\times0}{0.01+0.1+0.1+1}=4.38\mu s\]
均方值为
\[\overline{\tau^{2}}=\frac{1\times5^{2}+0.1\times1^{2}+0.1\times2^{2}+0.01\times0^{2}}{0.01+0.1+0.1+1}=21.07\mu s^{2}\]
故RMS时延扩展为
\[\sigma_{\tau}=\sqrt{21.07-4.38^{2}}=1.37\mu s\]
最大附加时延（10dB）为
\[\tau_{max}=5\mu s\]
当\(\rho=0.5\)时
\[B_{c}\approx\frac{1}{5\sigma_{\tau}}=146kHz\]
AMPS业务要求为30kHz，GSM为200kHz，故前者满足条件，后者需要均衡器
综上，我们了解了多径效应中时域延迟对频域的影响，并知晓可以通过\(\sigma_\tau | B_c\)区分是平坦衰落还是频率选择性衰落
下面，对应的，需要了解相对运动后多普勒频偏对时域的影响，即信道的时变特性，并学习其中的重要指标：多普勒扩展\(B_D\)与相干时间\(T_C\)
多普勒频率扩展和相干时间
多普勒扩展
即多普勒频偏半径
已知接收信号的频率为
\[f=f_c+f_d=f_c+\frac{\nu}{\lambda}\cos\theta\]
可得最值
\[f_{\max}=f_{c}+\frac{\nu}{\lambda}\quad f_{\min}=f_{c}-\frac{\nu}{\lambda}\]
则得到多普勒扩展为
\[B_{D}=\frac{f_{max}-f_{min}}{2}=\frac{2f_{m}}{2}=\frac{v}{\lambda}=\frac{v}{c} \cdot f_c\]
若希望忽略多普勒频偏的影响，基带信号带宽应远远大于\(B_D\)
多普勒功率谱
信道相干时间
\(T_C\)表示幅度相关性较强的时间范围
注意与相关带宽（频域指标）区别
工程上可表示为
\[T_{C}=\sqrt{\frac{9}{16\pi f_{m}^{2}}}=\frac{0.423}{f_{m}}\]
- 速度越快，频偏越大，相干时间越小，信道随时间变化越快
基于多普勒扩展的小尺度衰落分类
分为快衰落与慢衰落
总结
注意坐标轴参数与判断指标
可见，平坦衰落对应窄带信号，联想到通信原理窄带随机过程，下面将做详细推导与分析
瑞利衰落与莱斯衰落分布
瑞利衰落推导
不妨设基站发射信号为
\[S_0(t)=\alpha_0\exp[j(\omega_0t+\phi_0)]\]
经不同信道到达接收天线的第i个信号为\(S_i(t)\)
考虑MS运动，令\(S_i(t)\)与MS运动方向夹角为\(\theta_i\)，则有
\[f_i=\frac{\upsilon}{\lambda}\cos\theta_i=f_m\cos\theta_i\]
因为用模拟角频率表示，故需要加上2π。信号叠加后，单个接收信号可改写为
\[S_i(t)=\alpha_i\exp\left[j(\phi_i+\frac{2\pi}{\lambda}\upsilon t\cos\theta_i)\right]\exp\left[j(\omega_0t+\phi_0)\right]\]
假设N个信号的幅值与方位角是互相独立随机变量，则接收信号为
\[S(t)=\sum_{i=1}^NS_i(t)\]
根据欧拉公式，可将复指数分解为\(\cos+j\sin\)。分别令
\[\begin{aligned}&\psi_{i}=\phi_{i}+\frac{2\pi}{\lambda}\upsilon t\cos\theta_{i}\\&x=\sum_{i=1}^{N}\alpha_{i}\cos\psi_{i}=\sum_{i=1}^{N}x_{i}\\&y=\sum_{i=1}^{N}\alpha_{i}\sin\psi_{i}=\sum_{i=1}^{N}y_{i}\end{aligned}\]
为相位、实部与虚部，则可写成关于x和y的随机过程
\[S(t)=(x+\mathrm{j}y)\exp[j(\omega_0t+\phi_0)]\]
根据中心极限定理，实部与虚部由大量独立随机变量相加，服从零均值高斯分布，得到它们的PDF
\[p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_{x}}\exp(-\frac{x^{2}}{2\sigma_{x}^{2}})\]
\[p(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_{y}}\exp(-\frac{y^{2}}{2\sigma_{y}^{2}})\]
联合概率密度为边缘之积
\[p(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=p(x)\mathrm{d}x\cdotp(y)\mathrm{d}y\]
假设\(\sigma_{x}^{2}=\sigma_{y}^{2}=\sigma^{2}\)且零均值，则有
\[p(x,y)=\frac{1}{2\pi\sigma^2}\exp(\frac{x^2+y^2}{2\sigma^2})\]
用极坐标（幅值，相角）表示
\[r^{2}=x^{2}+y^{2}\\\theta=\arctan_2 \frac{y}{x}\]
\(\arctan_2\)代表已考虑所有象限
可知振幅功率与相位为x,y的二维随机变量函数
基于随机信号分析的小知识，用雅可比行列式可解
\[p(r,\theta)=\frac{r}{2\pi\sigma^2}\exp(-\frac{r^2}{2\sigma^2})\]
再分别求边缘概率，得到了熟悉的结论
\[\begin{aligned}&p(r)=\frac{1}{2\pi\sigma^{2}}\int_{0}^{2\pi}r\mathrm{exp}(-\frac{r^{2}}{2\sigma^{2}})\mathrm{d}\theta=\frac{r}{\sigma^{2}}\exp(-\frac{r^{2}}{2\sigma^{2}})\quad r\geq0\\&p(\theta)=\frac{1}{2\pi\sigma^{2}}\int_{0}^{\infty}r\exp(-\frac{r^{2}}{2\sigma^{2}})\mathrm{d}r=\frac{1}{2\pi}\quad0\leq\theta\leq2\pi\end{aligned}\]
信号包络服从瑞利分布，相位服从均匀分布
Rayleigh衰落信道中SIR的CDF表达式：
\[P(\gamma\leq\gamma_0)=1-e^{-\gamma_0/\Gamma}\]
\[\begin{aligned}&\gamma{:\text{随机变量,表示瞬时信噪比(SNR)}}\\&\gamma_0:\text{设定的SNR阈值}\\&\Gamma{:\text{SNR的均值(平均SNR,需为线性单位,如瓦特而非分贝)}}\end{aligned}\]
瑞利分布特点
瑞利分布的各个统计量由参数\(\sigma\)确定。假定接收信号包络为r
- \(\operatorname{E}[r]=1.253\sigma\)
- \(\operatorname{E}[r^{2}]-\operatorname{E}^{2}[r]=0.429\sigma^{2}\)
- \((\operatorname{E}[r^{2}])^{1/2}=1.414\sigma\)
- $ r_{median}=1.177\sigma=\sqrt{2\ln2}\sigma\(时，\)\int_0^{1.77\sigma}p®dr=\frac{1}{2}$
- $r=\sigma \(时，\)p®\(最大，此时\)p(\sigma)=\frac{1}{\sigma}\exp(-\frac{1}{2})$
- 衰落深度可达20~40dB
- 衰落速率（0.5*过中值次数）为30~40次/秒
服从瑞利分布**条件**
- 平坦衰落（窄带），ISI不明显
- 多径分量幅度近似相等
在市区环境更容易发生，因为不能有视距信道，否则不满足[幅度近似相等]的条件
莱斯衰落
当存在视距信道时，多了个A
直接给出广义瑞利——Rise分布的包络结论
\[p(r)=\begin{cases}\frac{r}{\sigma^{2}}\exp(-\frac{r^{2}+A^{2}}{2\sigma^{2}})I_{0}(\frac{Ar}{\sigma^{2}})&,A\geq0\quad r\geq0\\0&,\quad r<0&\end{cases}\]
仿真
平坦衰落
可以是Clarke模型
成形滤波法
照猫画虎，自学
也可以通过Jakes模型
频率选择性衰落
二阶衰落指标
有电平通过率与平均衰落持续时间，分别描述环境相对移动速度与衰落占空比
电平通过与衰落持续时间
描述衰落变化快慢
- 包络经过给定电平
R，则称为一次电平通过，无论斜率是正（进入衰落）还是负（衰落结束）
- 包络在进入衰落后必然退出。包络在
R以下的时间称为衰落持续时间
电平通过率
指单位时间里，包络电平以正斜率（或负斜率）通过特定电平R的平均次数（也称为电平交叉率，LCR），标记为\(N_R\)
事实上是求均值，即
\[N_{_R}=\int_{0}^{\infty}\dot{r}p(r=R,\dot{r})d\dot{r}=\sqrt{2\pi}f_{_m}\rho e^{-\rho^2}\]
\(p(r,\dot{r})\)为包络r和它的时间导数的联合概率密度函数，一般服从瑞利分布
\(\rho=R/R_{rms}\)是特定归一化值，\({R_{rms}=\sqrt2\sigma}\)
\(N_R\)与\(f_m、\rho\)有关
- 频偏与速度正相关，所以电平通过率是速度的函数，且速度越快越高（符合直觉）
- \(R=\sigma\)时，电平通过率最高，变化最快
- 电平通过率高，意味着浅衰落发生概率大，而深衰落被认为是偶然的
平均衰落持续时间
定义为衰落持续时间之和/总衰落次数（AFD）
\[\overline{\tau}=\frac{\sum_i\tau_i}{N_RT}=\frac{1}{N_R}\bullet\frac{\sum_i\tau_i}{T}\]
\(N_RT\)为电平通过率与观察时间之积，即总衰落次数
其中，若\(T \rightarrow \infty\)，则
\[\frac{1}{T}\sum_i\tau_i=Prob[r\leq R]\]
即时间均值等于统计概率
进一步，考虑包络服从瑞利分布，有
\[\overline{\tau}=\frac{1}{{N_{R}}}\int_{\frac{r}{\sigma^{2}}}^{\sqrt{2}\sigma\rho}\frac{r}{\sigma^{2}}\exp(-\frac{r^{2}}{2\sigma^{2}})\mathrm{d}r=\frac{e^{\rho^{2}}-1}{\rho f_{m}\sqrt{2\pi}}=\frac{1-e^{-\rho^{2}}}{N_R}\]
即0到R对包络边缘概率函数（瑞利分布）积分
可以看出，平均衰落持续时间与\(f_m\)呈反比关系，说明MS运动越快，平均衰落持续时间越短
例
